関数のグラフ

質問

y={(m-x)(1+x^2)} /4x をグラフで考える時、どのようなグラフになるのか分かりません。y軸には交わらずx軸にはx＝mで交わるということしか分かりません。これはどのようなグラフであり、どうやってグラフで表すのか教えてください。

回答No.1

info22

正確なグラフの形状は増減表を作りグラフの特徴点をおさえてプロットすればいいです。

大まかな特徴は
(1)グラフはX軸とx=mで交わる。
(2)x=0で±∞　（x＝0が極点）
|x|＜0.5で|x|→0に近づくにつれ
y≒(m-x)(1+0)/x
＝(m-x)/x　左に漸近していく（漸近曲線）。
さらに|x|<<0.5では|x|→0に近づくほど
y≒(m-x)/x＝m/x-1
≒m/x ←この直交双曲線に漸近して行きます（漸近曲線）。
(3)|x|＞2で|x|→∞に大きくなるほど
y≒(m-x)(0+x^2)/(4x)
＝(m-x)x/4 ←この上に凸の放物線に漸近していきます。
(4)m＝0のときは
y＝-(1+x^2)/4　←上に凸の放物線
(5)漸近曲線はグラフの上側、それとも下側から漸近するか？
|x|＜0.5ではm≠0として
y≒(m-x)(1+ε)/x　(0＜ε<<1)
＝(m-x)/x+ε(m-x)/x
≒(m-x)/x+ε(m/x-1)
≒(m-x)/x+ε(m/x)
yのグラフは漸近曲線y=(m-x)/xに
ε(m/x)を加えたもので近似できるから、
(m/x)＞0でグラフの方が上にあるから下方から漸近し
(m/x)＜0でグラフの方が下にあるから上方から漸近する
ことが分かる。

同様に
|x|＞2では|x|が大きくなるほど
(1)グラフはX軸とx=mで交わる。
(2)x=0で±∞　（x＝0が極点）
|x|＜0.5で|x|→0に近づくにつれ
y≒(m-x)(1+0)/x
＝(m-x)/x　左に漸近していく（漸近曲線）。
さらに|x|<<0.5では|x|→0に近づくほど
y≒(m-x)/x＝m/x-1
≒m/x ←この直交双曲線に漸近して行きます（漸近曲線）。
(3)|x|＞Max(2,|m|)で|x|→∞に大きくなるほど
y≒(m-x)(ε+x^2)/(4x)　（ε>0）
＝(m-x)x/4 +ε(m-x)/(4x)
≒(m-x)x/4 +ε(m-x)/(4x)　(|m|<<|x|)
＝(m-x)x/4 +ε(m/x-1)/4
≒(m-x)x/4 -ε/4
でyのグラフの方が下にあるので漸近曲線はグラフの上側から漸近します。
ここでMax(2,|m|)は２と|m|の大きい方を表します。
なお、x＝mで漸近曲線とグラフの上下関係が入れ替わります。
|x|→∞では漸近曲線が常にグラフの上側にあって漸近します。

上記に示した|x|の範囲でyのグラフは(1),(3)で示した漸近曲線で極めてよく近似できますので漸近曲線（直交双曲線や放物線ならよく分かるでしょう）を目途にしてグラフを描けばいいでしょう。
(4)0.5≦|x|≦Max（2,|m|)の範囲付近は増減表を使って正確にグラフを描く方が良いですね。