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振動
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質点の質量をmとし、(抵抗力を含めて)F以外に力が加わらないとすると、運動方程式は、 m(d^2 x/dt^2)=-kx+F (k:比例定数) となりますので、微分方程式は、ω0=√(k/m) となることに注意すると、次のようになります。 (d^2 x/dt^2)+ω0^2・x=F/m ・・・・・(A) (1) t<0では、F=0なので、単なる単振動ですから、 x=Acos(ω0t)+Bsin(ω0t) ・・・・・(B) ですが、「t→-∞でx=x微分=0」ですから、A=B=0でなければならず、 x(t)=0 (t<0) ・・・・・(C) (⇒x(0)=0, dx(0)/dt=0 ) となります。 (2) 0<t<2π/ω では、強制力が働きますので、F=0のときの一般解(式(A))に特解を加えてものが、ここでの一般解になります。 そこで、特解を Csin(ωt-δ) とおいて、式(A)の微分方程式に入れると、 C=(F0/m)・1/(ω0^2-ω^2)、δ=0 のとき式(A)を満たすことが分かりますので、ここでの一般解は、次のようになります。 x(t)=Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)+(F0/m)・1/(ω0^2-ω^2)sin(ωt) これにt<0のときの考察から得られた初期条件x(0)=0, dx(0)/dt=0から、AとBの条件が求まり、xは次にようになることが分かります。 x(t)=(F0/m)/(ω0^2-ω2)・{sin(ωt)-(ω/ω0)sin(ω0t)} (0<t<2π/ω) ・・・・・(D) dx/dt=(F0/m)ω/(ω0^2-ω2)・{cos(ωt)-cos(ω0t)} (0<t<2π/ω) ・・・・・(E) ここで、t>Tの振動を求めるためにt=Tでの、xとdx/dt を求めておきます。 x(T)=-(F0/m)/(ω0^2-ω2)・(ω/ω0)sin(2πω0/ω) dx(T)/dt=(F0/m)ω/(ω0^2-ω2)・{1-cos(2πω0/ω)} (3) T<tのとき、強制力Fがなくなりますので、ここでは、式(B)のような単振動を行います。 そこで、(2)の最後に求めた初期条件 x(T)とdx(T)/dt でAとBを確定すれば、次のように、ここでの単振動が求められます。 x(t)=(F/m)/(ω0^2-ω^2)【 { (1-ω/ω0)cos(2πω0/ω)-1 }sin(2πω0/ω)cos(ω0t) + [ -(ω/ω0){sin(2πω0/ω)}^2 +{1-cos(2πω0/ω)}cos(2πω0/ω) ]sin(ω0t) 】 (T<tのとき) なお、ここまで複雑な式ですと、一応見直しはしていますが、打ち間違いや計算間違いをしているかもしれませんので、是非検算して確認してください。
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- foobar
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(固定振動数ではなくて固有振動数のような気もしますが) 振動する系は二階の微分方程式 ax''+bx'+c=u(t) で表現できます。この外力u(t)が0の場合が自由振動、周期的なu(t)を加えた場合が、強制振動(でいいのかな)かと。 問題としては、 ・問題で提示されている系になるようにa,b,cを決める ・問題で示されたようなu(t)を与えたときのxを解く ということになるかと思います。
お礼
ありがとうございます。参考にさしていただきがんばってみます。
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