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積分計算
kkkk2222の回答
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------ S=∫x√(1+x+(x^2))dx =∫x√［(((x+(1/2))^2))+3/4］dx =(1/2)∫x√［((2x+1)^2)+3］dx (2x+1)=t x=((t-1)/2) dx=(1/2)dt S=(1/2)∫x√［((2x+1)^2)+3］dx =(1/2)∫((t-1)/2)√［(t^2)+3］(1/2)dt =(1/8)∫(t-1)√((t^2)+3)dt =(1/8)∫(t-1)√((t^2)+3)dt =(1/8)∫t√((t^2)+3)dt-(1/8)∫√((t^2)+3)dt =(1/8)P-(1/8)Q P=∫t√((t^2)+3)dt =(1/3)(((t^2)+3)^(3/2)) ーーー Ｒ＝∫【1/［(√((t^2)+3))］】dt ［(√((t^2)+3))］+t=T・・・T>0 【t/［√((t^2)+3))］＋１】dt=dT 【【t+［√((t^2)+3))］】/［√((t^2)+3))］】dt=dT 【T/［√((t^2)+3))］】dt=dT 【1/［√((t^2)+3))］】dt=dT/T Ｒ＝∫［1/(√((t^2)+3))］dt =∫dT/T =logT =log【［(√((t^2)+3))］+t】 ーーー Q=∫√((t^2)+3)dt=t√((t^2)+3)-∫［(t^2)/√((t^2)+3)］dt (t^2)/√((t^2)+3) =［(t^2)+3-3］/√((t^2)+3) =［√((t^2)+3)］-3［1/√((t^2)+3)］ Q= ∫√((t^2)+3)dt=t√((t^2)+3)-∫［√((t^2)+3)］dt+3［1/√((t^2)+3)］dt ↑ ↑ 2Q= 2∫√((t^2)+3)dt=t√((t^2)+3)+3［1/√((t^2)+3)］dt Q=(1/2)【t√((t^2)+3)+3log［t+((√((t^2)+3))］】 ------ S=(1/8)P-(1/8)Q 8S=(1/3)(((t^2)+3)^(3/2))-(1/2)【t√((t^2)+3)+3log［t+((√((t^2)+3))］】 48S=2(((t^2)+3)^(3/2))-3【t√((t^2)+3)+3log［t+((√((t^2)+3))］】 48S=2(((t^2)+3)^(3/2))-3t√((t^2)+3)-9log［t+((√((t^2)+3))］ 48S=2(((t^2)+3)^(3/2))-3t√((t^2)+3)-9log［t+((√((t^2)+3))］ (2x+1)=t 4(x^2)+4x+1=(t^2) 4(x^2)+4x+4=(t^2)+3 48S=2(((4(x^2)+4x+4)^(3/2))-3(2x+1)√(4(x^2)+4x+4)-9log［(2x+1)+((√(4(x^2)+4x+4)］ 48S=16((x^2)+x+1)^(3/2))-6(2x+1)√((x^2)+x+1)-9log［(2x+1)+2((√(x^2)+x+1)］ S=(1/3)((x^2)+x+1)^(3/2))-(1/8)(2x+1)√((x^2)+x+1)-(3/16)log［(2x+1)+2((√(x^2)+x+1)］ --------------------------------
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以下の定積分の計算をしたのですが、自信がありません。 間違っていないか、ご指導お願いします。 (1) ∫{0→1} x(1-x) dx = ∫{0→1} (1/2)x^2 - (1/3)x^3 dx = ∫{0→1} (1/6)(3x^2 - x^3) dx = ∫{0→1} (1/6)x^2(3-x)dx = [(1/6)x^2(3-x)]{0→1} = [(1/6)・1・(3-1)]-[(1/6)・0・(3-0)] = (1/6) (2) ∫{0→(π/2)} cos x dx 公式 ∫cos x=sin x+Cより =[sin x]{0→(π/2)} =[sin (2/π)]-[sin 0]=1-0=1 (3) ∫{0→3} 3/(x^2+9) dx 公式 ∫1/(a^2+x^2) dx=(1/a)tan^(-1)(x/a)+Cより =∫{0→3} 3/(x^2+3^3) dx =[3・(1/3)tan^(-1)(x/3)]{0→3} =[3・(1/3)tan^(-1)(3/3)]-[3・(1/3)tan^(-1)(0/3)] =tan^(-1)(1)=arctan(1)=π/4
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次の計算式が解けないです。 ∫(9x+4)^2 √{(9x+4)^2-36}dx ((9x+4)^2-36までルートの中です。） 9x+4をtとおいてt^2√(t^2-36) として計算すればいいのかなと 思ったのですが、答えが５択でどれも 1/72[(9x+4){2(9x+4)^2 -36}] √{(9x+4)^2-36}-1296ln|(9x+4)+√{9x+4(^2)-36}| といった解答なのでとき方が正しくないのかなと思ってしまいました。 この積分の途中式と答えを教えていただけますか？ また、lim x→0+ (e^x + 9x)^(4/x) をL'hopital's Ruleを使って解いたんですが、答えがe+9になりました。自信がないので、途中式と答えを教えてくださるとうれしいです。 よろしくお願いします。
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