いちばん簡単に解く方法。ラジアンの問題。

質問

問　周囲の長さ12ｃｍの扇形の面積が最大になるときの半径を求めよ。

っていうのですが、一番簡単にとく方法はどのようなやり方なんでしょうか？

ぜひ教えてください。

回答No.1

kony0 · ベストアンサー

普通に式立てればいいんじゃないでしょうか？
扇形なので、決め手は半径と中心角ですよね？
半径r, 中心角Θとすると
2r+rΘ=12,r>0, 0<=Θ<2πという条件のもとで、(1/2)r^2Θを最大にすればよいんですよね？
求めるのが半径なので、等式条件からΘ=の式を作り、面積の式をrで表して微分、というのが自然の流れなのではないでしょうか。

回答No.4

i536

一番簡単かどうかわかりませんが、
２次関数の性質をもちいる方法もあります。

半径ｒ、角Θの扇形の周囲長L、面積Sは次式より求まります
L ＝ 2r + Θ * r　---(1),
S ＝ Θ* r^2 / 2 ---(2).

(1)よりΘを求めると
Θ = L/r - 2　---(3).

(3)を(2)のΘに代入すれば、

S = (L/r - 2)*r^2/ 2 = L*r/2 - R^2 = (L/4)^2 - (r - L/4)^2 ---(4)

(4)が最大になるのは (r - L/2)^2 の項が０のときですから、
r - L/4 ＝０のとき　S　は最大値 (L/4)^2 となります。

条件L=12より、ｒ＝３とき、面積は最大値 9　となります。
このとき角は(3)より、Θ=２　です。

回答No.3

oshiete_goo

周の長さL(=12cm)で一定の場合として，一般に示すと，
扇形の半径r，弧の長さl＝rθ として
面積S=(1/2)r^2・θ
各変数は正より，相加・相乗平均の関係から
L=2r+l=2r+rθ≧２√(2r・rθ)＝２√(2r^2θ)=２√(2・2S)=4√S
ただし，等号成立は2r＝rθ ⇔ θ=2(rad)　のとき．
すると，面積S≦(L/4)^2 となり，最大値(L/4)^2でr=L/4, θ=2(rad)　のとき．

回答No.2

taropoo

半径ｒ、広角Θの扇形は
面積＝r^2 * Θ / 2
周囲＝2(2 + Θ) * r
なので（面積）／（周囲）は、r * Θ / [2 * (2 + Θ)]
となります。（面積）／（周囲）が半径に比例することを考えると、面積・周囲比は
Θ / (2 + Θ)
となります。これが０～２πの間で一番大きくなるのはグラフを書けば２πとなることは自明です。
ちなみに半径２πってことは円なのでさらに面積・周囲比が大きくなること請け合いです。

勘違いしてたら御免なさい。