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「正多面体スポンジ」の性質は？
stomachmanの回答
- stomachman
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しゃしゃり出ておいて何ですけど、勉強になります。 ご質問がさっぱり分かってなかったstomachmanです。実は http://anusf.anu.edu.au/anusf_visualization/viz_showcase/stephen_hyde/embed/ がやっと繋がりまして、それで話も繋がりました。 仰ってる対称性はやはり多面体のそれであって、連続的な対称性ではない。しかも面の数は無限個です。 でも上記HPの多面体に限って言えば、３次元のトーラス空間中の多面体として見れば有限の面を持つ多面体になっています。つまり（ご承知でしょうけど）、立方体で繰り返しの単位ひとつを囲んでやって、立方体の天井は床に繋がっている、右の面は左の面に、手前の面は奥の面につながっている、と考えれば、この立方体は３次元のトーラス（４次元空間にドーナツ型として埋め込める）の展開図であり、その中に含まれる面の数が、多面体の面の数です。なお「しわくちゃ」に関しては「整然としわくちゃ」なんです。だって、上記HPの多面体の乗る曲面には明らかに「特別な方向」というものがあるでしょう？立方体の軸がその方向です。球面のように「どっちを向いても同じ」という訳には行かない。でも、３次元トーラス空間として見れば、しわくちゃではない。 で、このような多面体一般について、「頂点が乗っている曲面は何か」ですって？いやー分かりません。 何種類あって、どのように分類されるのか、そこから勉強しなくちゃいけません。（それに、確か比較的最近になって新しいクラス（トーラスではない）が発見された、ような気がします。）もちろん「その曲面は曲率が一定」に類する何か適当な条件は必要です。この条件を付けなければ、頂点さえ通ればどんな曲面でも構わない事になってしまって、全然面白くないですね。 いずれにせよ、回答としてはお手上げ。ごめんなさい。でも面白かったです。
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