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「正多面体スポンジ」の性質は？
oodaikoの回答
- oodaiko
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大変遅くなりましたがやはりそうでした。「非ユークリッド幾何学の世界」に書いてありました。 「ユークリッド空間において曲率が負の一定値をとり、かついたるところ滑らかな 曲面は存在しない」という事はヒルベルトが証明したそうです。 擬球という「曲率が負の一定値をとる」曲面はたしかに存在するのですがこれは 「滑らか」でない（つまり微分できない）部分があり、曲率とは微分で定義されるものなので 擬球はその部分で曲率が定義できないのです。 擬球はz-x平面上に描いたトラクトリックスと言う曲線をz軸に沿って回転させた回転体ですが z=0の所で接線がx軸と平行になる（すなわち微分係数が∞になる）のでそれ以上延長できず z<0の範囲ではz>0の部分と同じものを逆向きにしてつなぎあわせたような構造になります。 従ってz=0の部分で微分不可能になります。（z軸を中心とするラッパを口の部分で２つ くっつけたような形です） そのほかにトラクトリックスをz軸を中心とする螺旋上で回転させたもの（Diniの曲面というそうですが） も曲率が負の一定値をとる曲面だそうですがこれも「縁」の部分で微分不可能になります。 （このサイトにはDiniの曲面の図が載っています） http://www.u-gakugei.ac.jp/~nobuko/97seminar/98.html 参照ＵＲＬには双曲的非ユークリッド幾何関連の画像がたくさんあります。
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お礼
ありがとうございます。推薦いただいている書籍が入手できず、まだ読んでいませんが、「正多面体スポンジ」は私の求めている曲面ではなさそうだということですね。 それにしてもいったいどういう形なのでしょうか。(^^; ＞「正多面体スポンジ」 ご紹介のＵＲＩもおもしろそうです。本と併せてよく読んでみます。
補足
ご紹介いただいたブルーバックス、面白かったです。ヒルベルトの証明については触れられていなかったのが残念でしたが。 遅くなりましたが改めてお礼の上、当スレッド閉鎖します。 他のところでもお世話になるかと思いますが、よろしくお願いします。 ありがとうございました。