「正多面体スポンジ」の性質は？

質問

初めて質問します。数学は高校（文系）のレベルです。
中学生のとき一松信先生の『正多面体を解く』を読んで興味を持つようになりました。

すべての頂点に同じ形に正ｐ角形の頂点がｑ個集まるように並べると、
(1) (p,q)=(3,3),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3)
のとき、ピタゴラスの正多角形になり、
(2) (p,q)=(4,4),(3,6),(6,3)
のとき、アルキメデスの平面充填形になるわけですが、もっとｐとｑの値を大きくして
(3) (p,q)=(4,6),(6,4),(6,6)...
などのとき、スポンジ状の立体ができあがります。この立体はどういうものでしょうか。
（１）が球面、（２）が平面になることから類推すると、（３）は双曲面的な性質を
持っていそうなのですが、うまく数式化できません。

また、二次曲線が円錐曲線であるように、これらの立体も何らかの形の切片で表せる
ものなのでしょうか。

回答No.4

stomachman

補足を拝見しました。
最初のご質問で
> (2) (p,q)=(4,4),(3,6),(6,3) のとき、アルキメデスの平面充填形になる
とあったので、非ユークリッド平面に限定して話をしていましたが、早とちりだったようです。平面に限らなければいろいろあり得ますね。たとえばトーラスは(2)のタイルで埋め尽くせます。トーラスを３次元空間に（延ばしたり縮めたりして）埋め込むとドーナツ型の表面になります。
　ご紹介戴いたURLの曲面は、なるほど「スポンジ」と仰るのはこれだったのかとようやく納得しました。これは多分至る所一定の負の曲率を持つ多様体を３次元空間に埋め込んだものなのだと思いますが、平面とは違います。点Aから出発して点Aに戻る閉路P,Qのうち、Pを連続的に変形してQに一致させることができないような、そういう本質的に異なる閉路P,Qが存在するからです。つまりトポロジー的に平面と同相ではない、別の種類の曲面です。（トーラスでも複数の本質的に異なる経路がありますね。）

> 至るところ同じ負の曲率を持つ一様な曲面は、ユークリッド幾何では存在しない。……（１）
　「一様な曲面」の意味が問題です。これまでのお話ですと、至るところ同じ負の曲率を持つ曲面を３次元ユークリッド空間に埋め込んだときに（イ）「延ばしたり縮めたりしわくちゃにせず、すなわち『３次元空間中の曲面上のどの点においても、どっちを見てもその周囲が同じに見える』という意味での対称性をもつ埋め込み方があるか」という意味（曲率正の平面の場合、球面がこれです。）ではなく、むしろ（ご紹介のURLのように）（ロ）「『３次元空間中の曲面上の特定の点において、有限個の対称軸がある』という意味での対称性をもつ埋め込み方があるか」あるいは（ハ）「『３次元空間中の曲面としての曲率が至るところ一定である』ような埋め込み方があるか」ということに注目していらっしゃるように思われます。（ロ）（ハ）の意味でなら出来る（曲面の種類にもよるかも知れません）、（イ）の意味でならできない、と思います。ご紹介のURLの埋め込みも（イ）の意味では対称ではなく、しわくちゃではありませんか？
　「（イ）の意味でならできない」という事の厳密な証明は分かりません。その曲面の性質を調べる上では重要でないのでこういう観点ではあまり考えたことがない、というのが正直なところです。

> これらの図形（スポンジ形）の曲率は
至る所一定の曲率を持つ、というのなら曲率の符号だけが問題ですから、曲率の数値は問題ではありません（相似変換すれば変わってしまいます。）
曲率が一定でない場合には、３次元空間に埋め込む時にゆがめてしまうので、埋め込まれた図形だけではもとの曲面での曲率は分からないですね。

補足

いろいろな示唆をいただき、大変勉強になります。「スポンジ」感（？）がユークリッド幾何３次元空間的に共有できてよかったです。(^^)　最初にいただいたご回答の「お礼」には、私が参照した他のＵＲＩも掲載してまして、こちらをご覧いただければ、私があくまで「正多面体」の延長として質問したことをお察しいただけるかと思います。

ここで改めて質問したい点を以下に整理します。（ｐ，ｑの定義は省略）
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３次元空間（ユークリッド幾何）内で、(p-2)(q-2)>4となる立体が存在し（模型でも作れる）、この立体は正多面体のもろもろの性質と矛盾しない（凸ではないが）ものである。
(p-2)(q-2)<4のとき正多面体の頂点は球面にのり、(p-2)(q-2)=4のとき「正多面体（平面充填形）」の頂点は平面にのるが、上記の「正多面体（？）」の頂点がのる曲面は、どのようなものなのか。エレガントな数式で表されるものか。
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質問意図としては上記のような内容で、高校数学（文系）の範囲だと思っています。ですので、対象性、トーラス、非ユークリッド幾何、といった高度の概念は、とりあえず脇に置いておければといいなと思います。（でも派生して勉強できるのはうれしいです）

> 至る所一定の曲率を持つ、というのなら曲率の符号だけが問題ですから、曲率の数値は問題ではありません（相似変換すれば変わってしまいます。）

そうですね。で、曲率が正の一定値をとるのが球面（至るところ滑らかに凸）だとすると、この「正多面体スポンジ」面は「至るところ滑らかに鞍型」のようなので、これはもしかすると曲率が負の一定値をとっているのかも、と考えた次第です。

> ご紹介のURLの埋め込みも（イ）の意味では対称ではなく、しわくちゃではありませんか？
> 曲率が一定でない場合には、３次元空間に埋め込む時にゆがめてしまうので、

この点ですが、私の認識では、「正多面体スポンジ」は正多角形が空間に一様に整然と並んでいるというイメージで、「しわくちゃ」「ゆがめて」の感じが私にはうまく共有できていないみたいです。