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「正多面体スポンジ」の性質は？
stomachmanの回答
- stomachman
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スポンジ状って、よく分からないですが... (p,q)=(4,6)なんてユークリッド空間においては作れないでしょう。これは非ユークリッド空間の話ですネ。 この考え方で行くと、(p,q)=(3,3)などは正の曲率を持つ非ユークリッド的平面（球面じゃない！）における平面充填（球面幾何）ですし、(p,q)=(4,4)は曲率が０の非ユークリッド平面における平面充填（ユークリッド幾何）、(p,q)=(4,6)は負の曲率を持つ非ユークリッド平面における平面充填（双曲線幾何）ということになる。この話でしょうね。 仰るとおり、むりやり３次元空間に双曲線幾何の平面を持ち込んだら、馬の鞍型にでもしないと入りません。この平面では、「与えられた直線と平行で、かつある一つの点を通るような直線」は何本でもひけます。円を描くとその円周は2πrより長いですし、三角形の内角の和は１８０°未満です。 このようなへんてこな空間のイメージを（文系的に）最も深く理解できるのは、おそらくエッシャーの版画（「円の極限I,II,III」）でしょう。これらは射影幾何学という方法を使って、双曲線幾何学の平面を普通の平面に引き写したものです。エルンスト「エッシャーの宇宙」(朝日新聞社)に、少しですけど解説が載っています。 きちんと学んでみたいということであれば、大きい本屋で自分好みの非ユークリッド幾何学の入門書を探すのがよいです。 最後の質問に関しては、いずれも立体図形ではなく、ホントはその世界における「平面」なんです。
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補足
先に「お礼」に書いた内容は、こちら「補足」に書くべきものでした。 ユークリッド幾何では、リーマン幾何の「平面」が球面に相当するように、ロバチェフスキー・ボヤイ幾何の「平面」がスポンジ（？）に相当するのではないか、と思ったわけです。 「擬球」というものもあるわけですが、何となくですがこれって「美しくない」ものに感じてしまいます。対称性が低いからでしょうか。特異点もありますし。 全然見当違いのことを書いているかも知れませんので、ご指摘いただけると幸いです。