高１レベルの問題

質問

問題集で分からない問題があって、解き方がさっぱりなので助けてください！
（半角数は指数）

放物線ｙ＝ｘ2－（ａ＋４）ｘ－２ａー１について、次の問いに答えよ。ただし、ａは実数の定数とする。

問：ａをすべての実数で変化させるとき、頂点のｙ座標の最大値、およびそのときのｘ座標を求めよ。

答えは　最大値１１、ｘ＝－２　になるようです。
そもそもすべての実数で変化させるとは・・・どういう事なのでしょうか？
私にも分かるように説明して下さいお願いします・・・！
問題集の提出が明日なので、できるだけ早めに回答してもらえると助かります＾＾

回答No.2

debut · ベストアンサー

頂点の変形をすれば、
y={x-(a+4)/2}^2-(a+4)^2/4-2a-1 となりますよね。
よって、頂点の座標は（(a+4)/2,-(a+4)^2/4-2a-1)
です。すると、この座標はaの値によっていろいろ変化
することがよみとれますよね。
そこで、aを変化させたとき、このy座標が最大になる
のは何ですか？ときいているわけです。
そこで、ｙ座標の-(a+4)^2/4-2a-1をａの２次関数と
みたてて最大値をみつければいいわけです。

f(a)=-(a+4)^2/4-2a-1 とおけば、整理して
f(a)=-a^2/4-4a-5=(-1/4)(a^2+16a)-5=(-1/4)(a+8)^2+16-5
=(-1/4)(a+8)^2+11
よって、f(a)は上に凸なので a=-8のとき最大値は11です。
もとの関数のｘ座標は(a+4)/2だったので、ここにa=-8を
代入してx=-2です。

お礼

つまり、頂点（x,y）のyに注目すればいいんですね。
よく分かりました！
ご丁寧に回答有難う御座います＾＾

なんだかすっきりした気分ですｖ

回答No.3

gknxy

平方完成してみてください。
ｙ＝a（x＋b）^2－cの形にすれば良いと思います。
問題から言って、たぶんaはマイナスになります。
（そうしないとプラス側に発散するから）
＞頂点のｙ座標の最大値、およびそのときのｘ座標
ｘが-bで、ｙが-c
って感じだと思います。

お礼

回答有難う御座います＾＾
文字が多くてややこしいだけで、自力で平方完成、頂点を求めることができました。
問題はこの後どうするか・・・。です；

回答No.1

koko_u_

おかしな問題を解いとりますな。「a は実数の定数」と言ったはなから「a をすべての実数で変化さする」とは。

>すべての実数で変化させるとは・・・どういう事なのでしょうか？
雰囲気としては a = 0 のときのグラフを書いて、a = 1 のときのグラフを書いて、a = 2 のときのグラフを書いて、。。。 を「すべての実数」で繰り返す。

たいてい、固定された a についての最大値を求めて、更にそいつを a についての関数とみなして再び最大値を求める。

でも x^2 - (a + 4)x - 2a - 1 を a と x の 2変数の関数と思っても特に問題なく解けるだろう。

お礼

有難う御座います！よく分かりました。
「すべての実数で変化させる」を深く考えすぎたかもしれません；