数学IIIの増減表の計算方法について

質問

• 数学IIIの増減表の計算方法について相談です。数学IIIの増減表では、高次式や√の多項式、三角関数などのf '(x)の計算が直接できない場合があります。
• 通常、f '(x)=0の前後の符号を求めるためには具体的な値を計算する必要がありますが、それは時間がかかるものです。
• そこで、増減表のf '(x)の＋－の符号を計算せずに求める方法があれば教えてください。

回答No.1

2hen6 · ベストアンサー

公式などはないですが、符号判断を早くするスキルを教えておきますね。

普通に説明していては分かりにくいで例を出したいと思います。

例　f '(x)=e^x(x^2+1)(x^2-2)/(x-3) の＋－を調べる。

まず最初に、式を分解、というか、掛け算、割り算されているものをそれぞれ分けてから、＋－を考えます。今回は

e^x
(x^2+1)
(x^2-2)
(x-3)

のように分けて、１個ずつ符号を考えます。
e^xはどんなｘについても常にe^x＞０です。つまりずっと＋です。
(これは最低限の知識です)

(x^2+1)はこれもわかると思いますが、x^2は常に０以上の数になるので、それに１を足したx^2+1はずっと＋です。

x^2-2は因数分解できます。(x-√2)(x+√2)ですね。
２次式なら不等式を使って＋－を判断できます。
(x-√2)(x+√2)＜0　→-√2＜x＜√2
(x-√2)(x+√2)＞0　→x＜-√2、√2＜x

つまり-√2＜x＜√2で符号は－、x＜-√2、√2＜xで＋です。

面倒ならx-√2とx+√2をさらに分けて考えて、
x-√2　→ｘが√2より大なら＋、小なら－
x+√2　→ｘが-√2より大なら＋、小なら－
としてもいいです。

そして最後に
(x-3)　→ｘが３より大なら＋、小なら－
ですね。
ただしここで注意があります。
(x-3)は分数の分母にあるので、０になってはいけません。
なので増減表の　f '(x)でｘ＝３の所には斜線を引きます
(ｘ＝３でf '(x)の値は無い)。

これでそれぞれの＋－を調べ終えました。ここからが本番です。
これらをまとめて、f '(x)の符号がどのようになるか考えます。

分かりやすくするために表にまとめてみましょう。
どのような表かというと、増減表と同じような形で、
一番上にｘを書き、
それより下の段(増減表でf '(x)やf (x)を書く部分)は
さっきバラバラにした
e^x
(x^2+1)
(x^2-2)
(x-3)
を書いてやります。
そして、増減表のf '(x)の＋－を書くときのように、
それぞれの欄に＋－を書きます。
(x-3)でｘ＝３の所には斜線を引くのに注意です。

あとは簡単。f '(x)はこれらの式の掛け算(割り算)なのですから、
書いてある＋－を掛け算して、表の１番下に書いてやりましょう。

例えばｘが√２…３の…部分では
e^x　　　　　＋
(x^2+1)　　　＋
(x^2-2)　　　＋
(x-3) 　　　－

となってるはずですから、符号を全部掛け算すると－になります。
このようにして１番下に掛け算の結果を書いていきましょう。
０を掛け算するときはもちろん０に、
掛け算に斜線/があるときは１番下も斜線にします。

このようにして１番下に書いた＋－が
増減表に書くf '(x)の＋－になります。

質問者さんが困っている
高次式や√の多項式、三角関数

については、

高次式　　→できる限り因数分解をする
√の多項式→普通の√ならずっと＋になるので計算の必要なし

3乗根、4乗根…の場合は、
ｎ乗根のｎが偶数→ずっと＋なので計算必要なし
ｎが奇数→中身の＋－が√を付けた後の＋－と一緒なので、中身の＋－を考えればよい。

三角関数　→どの角度の範囲で＋、－になるかはわかると思うので、それに気をつけて表に書く

ことで対処できると思います。

あと注意点としては、
全体のf '(x)の式に－が掛け算されているときに、それを忘れないことです。

慣れてきたら
e^x　　　　　
(x^2+1)　　　
は＋－を考えるときの表からはずしてしまいましょう。
常に＋のやつは＋－を考えるときに必要ないのはやれば分かると思います、＋を掛け算しても符号は変わりませんからね。

最初は時間がかかるかもしれませんが、
練習を積み重ねて、スピードをあげていけば速くなります。
頑張ってください。

お礼

丁寧でとても分かり易い御回答ありがとうございます。
早速、教えて頂いた方法で練習してみます(^^)