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数学者はどうしたら納得しますか？
今、何気に考えてしまったのですが 1)特別な細工がほどこされていないコインを 2)無作為にトスした場合、 3)コインの表と裏が出る確率を1/2であることを証明せよ という、古典的な問題を考えるとします。 このとき、仮にA君がいたとして、A君は全く数学が分からないので10000回自分でコインを投げて表と裏の出る回数を数えました。その結果、どちらの回数もほぼ一緒であった。だから、コインの表と裏の出る確率は等しいといえる。 といったような、実験的というかシュミレーション的な主張は数学者として納得いきませんか（回数が不足であるというなら、コンピュータで何億とやってもよい）？ やはり、数式で証明されないと気持ちが悪いものなのでしょうかね？ ちなみに、数学者といっても、数学で飯を食っているというほど大げさなものではなく、数学好きというか数学に染まっている人くらいの感覚で受け取ってくださいまし。
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一応数学者の卵のつもりですが、これは数学の問題ではありません。したがって納得するもしないもないのです。答えられない。つまり命題ではないのです。 どこが問題かというと、「無作為にトス」の意味が明確でないこと、「コインの表の出る確率」というのが明確でない、ということです。確率論を数学で論じるならば、その手の曖昧さを除くために、確率空間というものを用意して、コイントスは母数1/2のベルヌーイ試行だと定義するのです。つまり1/2を証明するのでなく、「無作為トス」とは表と裏が確率1/2で出ることだと定義するのです。その意味で、これは自明な問題です。 コイントスの実験は、「特別な細工が施されていない」、「無作為トス」に厳密性がありません。したがってこれから1/2を証明するには至りません。経験的に1/2に十分近づくということを我々が知っているだけで、厳密値が1/2かどうかなど証明は出来ないし、それに数学の問題ではもはやないのです。 それから最後に意地悪なことをいいますが、表の出る確率が1/10な非常に変なコインがあったとして、10000回コイントスを行って、表が5000回出ることは、ありえないとは言い切れません。ほとんど0に近い確率ですが、0ではないのです。実験から確率の母数を推定することはできるけれども、真の母数を完全に特定することは不可能です。
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- koko_u_
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>やはり、数式で証明されないと気持ちが悪いものなのでしょうかね？ 定式化が不十分だと「数学者」は誰も納得しません。 ANo.1 の方も答えておられるように、明確に定義された「確率」は、ご質問で挙げられている 1) 細工が施されていないコイン や 2) 無作為にトス することとは「無関係」です。 backs さんが「自明だ」と考えておられる事柄の多くが数学者にとっては自明でない。 あるいはかつては自明だと考えていたが、様々な研究結果によって実は自明でないことが明らかになった。 のです。 そういった過去の反省から、数学者はおしなべて「厳密に定式化されているのか？」に拘るのです。 当然、「どちらの回数もほぼ一緒であった。だから、コインの表と裏の出る確率は等しいといえる。」のような、「ほぼ一緒」などという不明瞭な言動は納得されるものではありません。 しかし、逆なら良い。つまり確率を厳密に定義して、「確率が同じであるから、繰り返しトスしたコインの表裏の回数の差 d は、トスした回数 n を増せば 0 に近付く」なら十分だ。
お礼
回答ありがとうございます。 koko_u_さんの回答を含めて、改めて気づいたのですが、厳密性を追求した学問だけあって、それを学んだ人もやはり厳密な考え方をするのですね。 話が脱線しますが、私のような人間と数学を学んだ人間とでは全く異なった目（考え方）でものを見て判断したりしているのかもしれません。・・・と思いました。
- funoe
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1+1=2であることは、自然数と加法の定義から証明される命題です。 「かごの中にリンゴが1つ入っている。そこにもう1つリンゴを入れた。かごに入っているリンゴは2つ。」 ことは数学では証明できません。 それは、過去の経験から正しいと確信（あるいは推定）されている「法則」です。 法則は、「慣性の法則」や「万有引力の法則」のように、経験や実験から正しいと広く確信されていますし、それなりにもっともな説明がされていますが、数学的に証明されているわけではありません。
お礼
回答ありがとうございます。 リンゴの例についてもそうですが、私は単純に足し算の問題かと思っていたのですが、 > 過去の経験から正しいと確信（あるいは推定）されている「法則」です。 という回答をできるというのは、やはり数学を学んだ（学んでいる）人だからこそなのだと感心しました。いろんな事に対して見る目というか考えの向け方（抽象的ですが）というのが違うのですね。
- volveive
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確率論の一分野ですが、統計学を調べてみたらどうでしょうか。 いわゆる検定問題だと思います。
お礼
回答ありがとうございます。 向後先生のwebサイトは分かりやすいらしく、よく紹介されていますね。ちょっと質問の仕方が悪かったらしく、誤解をまねかせてしまったようで申し訳ありません。
- ringouri
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このような問題を科学的に（数学的に）考えるために、統計的検定法というものがあるのです。有意水準を設定して、実験してみれば、その結果により、裏の出る確率と表の出る確率が同じかどうか判定することが可能です。 ちなみに、このような実験を「数式で証明」しようとする数学者はいないと思います。
お礼
回答ありがとうございます。 確かに検定すれば分かることなのですが、例えば二項分布において「確率pである事象をn回試行したうち、r回起きる確立は・・・」というお決まりごとがありますよね。 私は「あっ、そうなの」と、こういった数学者が証明した定義を使用しているだけで、なぜそうなるのかという証明の過程までをも無理に理解しなくても良いという立場をとっているのです。 でも数学を専攻している（したことのある）ような人はそれでは納得できないのかと疑問に思ったというわけであります。
お礼
回答ありがとうございます。 ちょっと質問の仕方が悪かったようで、、、 コインの問題はあくまでも例えでありまして、もっと単純な例をあげてみますと、 「かごの中にリンゴが1つ入っている。そこにもう1つリンゴを入れた。かごに入っているリンゴは2つ。」 これは 1 + 1 = 2 ということなのですが、多くの人は（少なくとも私は）なぜ「1 + 1 = 2」となるのか？ということを疑問に思うことはありません。そうなるものだと納得して使っているわけです。 こういったときに数式を用いて、「1 + 1 = 2」であることを証明して、反論のしようがない理屈までをも考えないと気が済まないのか？ということです。