数学に関する質問です

質問

A、Bが以下のルールで勝負したとき、Aが勝利する確率を計算してください。
［ルール1］コインを投げて、表が出たらAのポイント、裏が出たらBのポイントとする。
［ルール2］先に6ポイント獲得
した方が、その時に相手に2ポイント以上の差をつけていた場合に勝利とする。どちらかが6ポイント獲得した際のポイント差が0または1の場合は、2ポイントの差がつくまでコインを投げ続けることとする。
［ルール3］1回目はコインの表が出たと仮定して計算することとする。
Aがコインを投げる回数12回以下で勝利する確率を求めてください。

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

勝利が途中でついても、12回（最後まで）投げることを考える。
先ず、1回目が表である時、残る11回のコインの出る目の場合の数は、2^11 = 2048通りである。

さて、表が出るコインの数が（12回中）7回以上であった場合、裏の出る数は5回以下なので、この場合はAが勝っている。このような場合の数は、（1回目が表であることを考慮して）11C6 + 11C7 + 11C8 + 11C9 + 11C10 + 11C11 = 11C5 + 11C4 + 11C3 + 11C2 + 11C1 + 11C0 = (2^11)/2 (=1024)通りである。
また、表が出るコインの数が（12回中）5回以下の場合は、裏は7回以上でているので、Aは必ず負けている。
残る場合は、12回中表と裏が共に6回ずつ出て、かつAが勝つ場合である。これは、表が6回でた段階で、裏は4回以下であることが必要十分で、残る回数は全部裏となるから、つまりこれは10回投げた段階で表が6回、裏が4回出て、残る2回が裏となる場合と同じである。このような場合の数は、（1回目が表であることを考慮して）9C5 = 9C4 = 126である。

従って、求める確率は 1/2 + 126 / 2048 = 1/2 + 63 / 1024 = 575 / 1024 である。

お礼

大変詳しく書いていただき、本当にありがとうございました！とても参考になりました。また機会があった時には、よろしくお願いいたします。

回答No.3

staratras

愚直な解法ですがグラフで考えるとわかり易いと思います。

2回目以降表がx回、裏がy回出るとします。（x、yは負でない整数)
題意は　5≦x+y≦11　の範囲で　x≧5　かつx-y≧1　となる確率です。
（1回めが表なのでxがいわば下駄を履いている状態）

この状況を下にグラフ化しています。表が出たらx軸の正の方向へ+1、裏が出たらy軸の正の方向に+1だけ進みます。6回目すなわちx+y=5 でAが勝利するのは5連勝の場合だけで(x.y)=(5,0）確率は（1/2)^5=1/32です。

次に7回目以降10回目まで、すなわち6≦x+y≦9までは、x≧5 ならばy≦4なのでx-y≧1　を満たします。したがってその前の回にx=4となっていて表が出た場合にはAが勝つことができます、またこの場合だけです。

ただし11回目にはAが勝つことはあり得ません。(x,y)=(5,5)は題意を満たさないからです。12回目に(x,y)=(6,5)となって初めて勝つことができます。

これらを勘案して12回目までのすべてのAが勝つ確率を数え上げたのが下の図です。途中経過も記入しています。

6回目：1/32、7回目：5/64、8回目：15/124、9回目と10回目：35/256、12回目：63/1024

求める確率はこれらのすべての和なので
1/32+5/64+15/124+35/256+35/256+63/1024=575/1024

回答No.1

asuncion

ルール3は、12回のうちに含めるのですか？含めないのですか？

補足

12回に含まれています