くじ引きの問題に詰まりました・・・

質問

くじの本数：n、当たりくじの本数：m(n>m)、くじを引く人数：n、一度引いたくじは戻さない
という条件で、くじを引く順番によって当たりくじを引く確率が変わらないことを示せ、という問題に取り組んでおります。

A_i={i番目にくじを引いた人が当たる。}

と書いて、A_iの起こる確率を

P(A_i)=P(A_1∩A_2∩…∩A_i)+P(!A_1∩A_2∩…∩A_i)+P(!A_1∩!A_2∩…∩!A_i)
=P(A_1)*P(A_2|A_1)*…*P(A_i|A_1∩A_2∩…∩A_i-1)
+P(!A_1)*P(A_2|!A_1)*…*P(A_i|!A_1∩A_2∩…∩A_i-1)
+…
+P(!A_1)*P(A_2|!A_1)*…*P(A_i|!A_1∩!A_2∩…∩!A_i-1)

と展開してみました。iが１～４ぐらいであれば確率がm/nとなることを計算できたのですが、任意のiについてを示すには、どうすればよいか分かりません。もしかすると方針が間違っているのでしょうか・・・。

どなたか、ご教授よろしくお願いします<m(_ _)m>

回答No.5

KamoLife · ベストアンサー

題意に沿って、順番に考えてみましょう。

まず、i番目の人が引く場合を考えます。
残りのくじは、当たり外れ合わせて全部でn-i+1本。
この時点で残っている当たり本数の期待値をM本とします。
（Mはmとn、そしてiの関数なのですが、面倒なので一文字に纏めておきます）

このとき、i番目の人が当たりを引く確率をp(i)とすると、
p(i) = M/(n-i+1) となります。

さて、i+1番目の人の番が回ってきました。
くじは1本引かれたので、全部のくじ数はn-i本になっています。
また、当たりの本数はi番目の人が当たっていればM-1本、外れていればM本なので、
i+1番目の人が当たりを引く確率p(i+1)は以下のように表されます。
p(i+1) = p(i)*(M-1)/(n-i) + [1-p(i)]*M/(n-i)
　　　 = [M-p(i)]/(n-i)
ここで、
M-p(i) = M - M/(n-i+1)
　　　 = M*(n-i)/(n-i+1)　なので、
最終的には
p(i+1) = M/(n-i+1) = p(i)　となります。

このことは、任意の自然数iにおいて
p(i)=p(i+1)であることを示します。簡単に言うと、
「何番目に引いても、i番目の人とi+i番目の人の当選確率は同じ」ということ。

当然p(i)=p(2)=…=p(i)=…=p(n)ですので、
何番目に引いても当選確率はp(1)と同じm/nです。

この問題に限らず、確率・数列の問題において、
「i番目とi+1番目の差」が重要な鍵を握るケースが多々あります。
解法のパターンとして、覚えておいて損はないと思いますよ。

お礼

お返事遅くなって申し訳ありません。

i+1番目の確率を
P(A_i+1)=P(A_i+1∩A_i)+P(A_i+1∩!A_i)
と展開すればよいのですね。i番目の人が引くあたりの本数に
M=P(i)*(n-i+1)
が効いてくる理由がいまいち分からないのですが、そのほかは、詳しい解説のお陰様をもってよく分かりました。

＞この問題に限らず、確率・数列の問題において、
＞「i番目とi+1番目の差」が重要な鍵を握るケースが多々あります。

確率や数列を扱うことなんてほとんどありませんでしたので、全く知りませんでした。「こういう考え方がある」ということが分かったので、解けないはずだった問題がいくらか解けるようになりそうです。
丁寧なご回答、ありがとうございました。

回答No.7

noname#47975

＞i番目の人があたりを引くと、あたりくじもくじ全体も枚数が減って前提条件が変わっている気がします。

それは条件付確率とごっちゃになってませんか？
i番目の人があたりを引くと、くじ全体・枚数は確かに減ります。
だが、i番目の人があたりを引くという条件のもと、
i+1番目以降の確率があたりくじが減るので、確率値が異なると
いうように考えているのでしょうか。
違っていたら、申し訳ありませんが、本題では、
最初の人がくじを引き始める時点でのi番目の人が当たる確率を考え
なければなりません。

＞すべての人の確率は一様ということが示せるのでしょうか。

これはiによらず、一定値の確率を取る事から、一様である事は明らかだと
思います。これもおそらく条件付確率と混同しているように見受けられます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞i+1番目以降の確率があたりくじが減るので、確率値が異なると
＞いうように考えているのでしょうか。

ご指摘を受けてからよく考えてみました。確かに「“i番目の人が当たる”が起こってから“i+1番目の人が当たる”」と言う確率と、「i+1番目の人が当たる」という確率が同じであると混同していたようです。実際は
P(A_i+1)=P(A_i+1|A_1)P(A_i)+P(A_i+1|!A_1)P(!A_i)
となるので、これを計算するとi+1番目の人が引く確率もm/nとなりますね。この「P(A_i+1|A_1)」という部分だけを考えていたのでは、確率が変わっても当然です。

Ｎｏ１様、Ｎｏ２様大変失礼いたしました。

補足

お礼にある「A_1」というのは「A_i」の間違いです＾＾；

回答No.6

KamoLife

大筋ではご理解いただけたようで何よりです。

折角ですので、残った疑問の方もスッキリさせておきましょう。

> i番目の人が引くあたりの本数に
> M=P(i)*(n-i+1)
> が効いてくる理由がいまいち分からない
…とのことですが、これはあまり難しく考えないでください。
Mはi番目が引くときに残っている当たりくじの数（期待値）、
n-i+1はi番目が引くときに残っているくじの全数です。
要は「当選率＝当たり本数÷くじ全数」というだけのことなのですから。

もう少し突っ込んで説明しますと、
Mはi番目の時点でA本当たりが残っている確率をq(A)として、
以下のような式で表されます。 (「期待値」の定義より)

　　　m
　M=ΣA*q(A)　=　0*q(0) + 1*q(1) + … + m*q(m)
　　 A=0

他の方への質問にあるように、それまでに引いた人の結果によって
確かにi番目の人が当たる確率は変わってきます。
それも考慮しq(A)を使ってp(i)を表すと、以下のようになります。

　p(i)={0*q(0)/(n-i+1)}+{1*q(1)/(n-i+1)}+…+{m*q(m)/(n-i+1)}

1/(n-i+1)が共通項になっているのでこれを外に出すと…

　p(i)={0*q(0)+1*q(1)+…+m*q(m)}/(n-i+1)
　　　=M/(n-i+1)

こうなるわけです。

まあ、要するに「期待値」は非常に便利なモノだということです。

お礼

なるほど、これでスッキリしました。

p(i)={0*q(0)/(n-i+1)}+{1*q(1)/(n-i+1)}+…+{m*q(m)/(n-i+1)}
という部分一つとっても「“当たりくじが0でi番目の人が当たる”、“当たりくじが1でi番目の人があたる”・・・」といった具合にゆっくり考えないと先に進めない私には、数学的センスはないなぁと実感させられました。

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

kkkk2222

時間差消去法。

あらかじめ、全員引いておく。

任意の順で、開封する。

どの人が当たる確率も、ｍ／ｎ。

お礼

お返事遅くなって申し訳ありません。

＞時間差消去法。

時間差消去法とはどういった方法なのでしょうか・・・？？私は数学は門外漢ですから、よくわかりません＾＾；しかし、３行で導かれていますので、もっともスッキリとした筋道なのでしょうか。
よろしければお教え願えませんでしょうか。

ご回答ありがとうございました。

回答No.3

yaemon_2006

i 番目に引いた人のあたる確立を f(i) とする。(1 <= i < n, i は整数)

f(i + 1) = f(i) * ((n - i + 1) * f(i) - 1) / (n - i) + (1 - f(i)) * ((n - i - 1) * f(i)) / (n - i)
　　　　 = ((n - i + 1) * (f(i)^2) - f(i) + (n - i + 1) * f(i) - (n - i + 1) * (f(i)^2)) / (n - i)
　　　　 = (-f(i) + (n - i + 1) * f(i)) / (n - i)
　　　　 = (n - i) * f(i) / (n - i)
　　　　 = f(i)

お礼

お返事遅くなって申し訳ありません。

展開するのはi番目とi+1番目の間だけでよいのですね。i番目までを展開して力ずくで計算しようとしていたのが馬鹿みたいにスッキリと計算できました。

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

noname#47975

当たりクジをそれぞれ、M1,M2...,Mmとします。
まず、i番目にクジを引く人がクジを引く前に、
当たりクジMk(k=1,2,...m)を引く確率Pkを考えれば良いと思います。
要するに、i番目にクジを引く人があらかじめm個ある中から、
どの当たりクジを引くかを決めておきます。

そうすれば、
p1:1番目の人が自分の番に、Mk以外を引く確率は、N-1/N
p2:2番目の人が自分の番に、Mk以外を引く確率は、N-2/N-1
..
pi-1:i-1番目の人が自分の番に、Mk以外を引く確率は、N-i/N-i+1
pi:i番目の人が自分の番に、Mkを引く確率、1/N-i

すると、Pk = p1*p2...* pi = 1/Nとなります。
そして、i番目の人がクジを引く前に、当たりクジを引く確率Pは、
P = P1 + P2... + Pmであり、かつP1=P2...=Pmなので、
P = m×Pk(k=1,2..,m) = m ×1/n = m/nになります。

お礼

お返事遅くなりました。申し訳ありません。

Ｎｏ１様の解法を展開したような感じですね。やはり、i番目の人があたりを引いてからの確率を考えるとおかしなことになるような気がします。i番目の人があたりを引くと、あたりくじもくじ全体も枚数が減って前提条件が変わっている気がします。これを何とかすることで、すべての人の確率は一様ということが示せるのでしょうか。

「くじを引く人が当たる」ということを「当たりくじが引かれる」というアプローチで解決するというのも大変おもしろいですね。探そうと思えば、切り口なんていくらでも見つかるものなんだと、驚いております。

ご回答ありがとうございまいした。

回答No.1

fukuda-h

この考え方は理屈としては正しいと思うのですが後になるほどものすごい事になりそうで方針を変えた方がいいと思います
たとえばi番目の人があたりを引くときは
先にi番目の人にあたりくじを配ります　ｍ通り
残ったn－１人にくじを配る方法は（ｎ-1）！
よってi番目の人があたりくじを引く確率は
ｍ*（ｎ-1）!/n!＝m/n
こんな考えはどうでしょうか？

お礼

早速のご回答をいただいたにもかかわらず、返事が遅くなり申し訳ありません。

＞たとえばi番目の人があたりを引くときは
＞先にi番目の人にあたりくじを配ります

その方法だとi番目の人があたりを引いてから後の人の確率は
(m-1)*(n-2)!/(n-1)!=(m-1)/(n-1)
となってしまい、確率が変わらないことが示せないような気がします。もしかすると、これは別の状況を新たに設定して回避できるのでしょうか？？？

この先証明できる・できない、ということは置いておいて・・・

i番目の人に当たりくじを先に配っておくというのは全く思いつきませんでした。ちょっと視点を変えると、驚くほどスッキリとした解法を導き出せることにつくづく驚きます。これが数学の醍醐味なのでしょうね。システマチックにしか筋道を立てられない頭の堅い私には、数学は無理だなぁと思います・・・。

ご回答ありがとうございました。