凹面鏡に写る像と数式との関係

質問

凹面鏡に像が写る場合遠くのものは小さくさかさまに映っていますが近くになってくると何か無限大への発散のような何も映らないところがあり、その後突然正立の拡大された像が写ります。これは円から双曲線に変ったような連想を与えます。この想像に数学的根拠はあるのでしょうか。

回答No.1

noname#40706 · ベストアンサー

凹面鏡　はレンズに例えると　凸レンズ（虫眼鏡）と同じはたらきをします。

虫眼鏡で字などをみるときも、虫眼鏡を字に近づけたり遠ざけたりすると同じような現象が観察されます。

ところで、このときの物体の位置ａ、像ができる位置ｂ、焦点距離ｆ　のあいだには

１／ｆ＝１／ａ＋１／ｂ

　という関係式が成りたちます。レンズの基本公式といわれているものです。凹面鏡のばあいは曲率Ｒは　Ｒ＝２ｆという関係になっています。

また、像の倍率は　ｂ／ａです。

これらの式をくみあわせると、

倍率ｂ／ａ＝ｆ／（ａ－ｆ）

となります。

ですから、物体の位置ａが焦点ｆに近づくと倍率はどんどん大きくなり、無限大になり、その後の有限値にもどります。また、このとき、ａ－ｆ　がプラスからマイナスになります。

倍率の値がプラスのときは倒立像、マイナスの時は正立像　となります。

ですから、kaitara1さまが観察された、

小さく逆さま→無限大に発散→正立の大きな像

はまさに正しい観察と言うことです。

また、ｆ／（ａ－ｆ）

という式は分数関数、まさしく双曲線をあらわしています。

kaitara1さまの慧眼に感服いたします。

参考URL：

http://www.ne.jp/asahi/hanako/physics/lecture/wave/wavedisplay_fig022.htm

お礼

ご懇切なご教示をありがとうございます。アルミ缶の底を微細研磨剤で磨くと結構それなりの凹面鏡になるので、これを用いて質問の観察をいたしました。