証明方法がわかりません。

質問

lim（１＋３ｘ）＝７をε-δ法を用いて証明せよ。
x→２
また、ε＝０．１として選定したδが妥当なことを数値的に示せ。

f(x)=１＋３ｘ
ｂ＝７とおくと
|ｆ（ｘ）－ｂ）|＜ε
|１＋３ｘ－７|＝|３（ｘー２）|
＝３|ｘ－２|＜ε

∴|ｘ－２|＜ε／３＝δ　となり

よって
２－δ＜ｘ＜２＋δ
となるδが存在するので

lim（１＋３ｘ）＝７が成り立つ。

は、あっているのでしょうか？
また、間違っている場合、どう直せばいいか教えていただければ幸いです。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

大体良いと思いますが、最後の方の、
「よって
　２－δ＜ｘ＜２＋δ
　となるδが存在するので」
というのがちょっと変な言い方だと思います。

δ＝ε／３とすれば、｜ｘ－２｜＜δなる任意のｘに対して、
|ｆ（ｘ）－ｂ|＜εが成り立つので、lim（１＋３ｘ）＝７が成り立
つ。の方が良いと思います。

７の任意のε近傍Ｕ(ε)に対して、２のあるδ近傍Ｕ(δ)があって、
ｆ（Ｕ(δ)）⊂Ｕ(ε)となる、ということです。

ε＝0.1のときは、δ＝0.1／3にすれば良いですが、これを数値的に
確かめるということは、2-0.1/3＜x＜2+0.1/3のとき、
7-0.1＜1+3x＜7+0.1すなわち、6.9＜1+3x＜7.1になることを確かめよ、
ということでしょうか。
当たり前のことに見えますが、ε-δ論法の抽象的なことを、実際の
数値で確認して実感をつかむ、というような趣旨でしょうか。

回答No.3

ayato_y

私なりの証明をしてみました。
∀ε , ∃δ st: |x - a| < δ → |f(x) - b| < ε より、
f(x) = 1+3x , a = 2 , b = 7 とおくと、
|x - 2| < δ → |(1+3x) - 7| < ε になる。
|(1+3x) - 7| < ε を整理して、
2 - ε/3 < x < 2 + ε/3
- ε/3 < x - 2 < ε/3
|x - 2| < ε/3 .....(i) となる。
(i)より δ = ε/3 を取り、
|x - 2| < δ = ε/3 → |(1+3x) - 7| < ε となる事を示せば良い事になる。
|(1+3x) - 7| = |3x - 6| = |x - 2| * 3
そして、
|x - 2| * 3 < ε/3 * 3 = ε
となり、証明終わり。

実際に数値が与えられてる時の証明も同じ要領で出来るはずです。
少し見にくくなってしまいましたが、参考になれば幸いです。

回答No.2

Tacosan

「∴」以降が (少なくとも表現としては) 変.
「なぜここで突然ε/3 = δがでてきたのか」という質問が, まず飛びますね. そのあとの「2-δ < x < 2+δ となるδが存在するので」というのもおかしいです (この表現だと, 「さっきのδって何」と聞かれる). 下手すると, 「あなたは本当に ε-δ を理解しているのですか」と問われかねないレベル.
どうもっていくかというと, |f(x) - 7| = 3|x-2| まで出しておいて「ここで δ = ε/3 とおくと, |x-2| < δ であるような全ての x に対し |f(x) - 7| = 3|x - 2| < 3δ = ε. 従って任意のεに対し δ=ε/3 ととれば |x - 2| < δ → |f(x) - 7| < ε となるので lim (1+3x) = 7」とするくらいかな.