どう理解すれば・・・

質問

このカテゴリーで何回か質問さていただいてる者です。
またまた、失礼します。

昔から疑問に思っていたことですが。

直角三角形で、３辺の比が、１：２：√３と表されると習ったのですが、実際に定規や分度器で作図が出来ると思うのですが、√３は無限小数ですよね。それなのに、作図できるとはどういうことなのですか？

目で見えているのに、永遠に数字が続いていくってどういうことだろうと心の隅で思っていたのですが。これは、どういう風に理解していくべきでしょう。非常に抽象的で分かりにくい質問だとは思いますが、どなたかご意見ください。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

一辺２の正三角形ABCの頂点Aから対辺に下ろした垂線の足をHとすれば、三角形の高さAH＝√3になります。
正三角形ABCはAHにより合同な直角三角形のΔABHとΔACHに分割されますね。
分割されたΔABHとΔACHの各辺の比が
BH：AB：AH＝CH：AC：AH＝1:2:√3
となっていますね。チャンとAH＝√3が作図できていますね。
一般の√N（Nは自然数）は直角三角形の作図を組み合わせればできます。
例えば√2は二辺が１の直角三角形の斜辺として作図できます。
その√2と１を直角を挟む2辺とする直角三角形の斜辺として√3が作図できます。直角を挟む２辺が１と２の直角三角形の斜辺として√5が作図できます。
√5と１を直角を挟む２辺とする直角三角形の斜辺として√6が作図できます。
手間はかかりますが同様な方法を繰り返すことでもっと大きな任意の自然数の√Nは作図可能ですね。

例えばπの長さの作図も半径0.5の円の円周として描けますね。

こうして永遠に続く数字の長さの線分や円弧が描けます。
ある数の逆数も直角三角形の相似比を利用して描けます。
つまり７から1/7が作図できるわけです。

無限に続く半端な長さがコンパスと直線定規を使って作図できるわけすね。直線定規にメモリがないと、例えば３辺が３ｃｍ、４ｃｍ、５ｃｍの直角三角形が作図でき、３辺が√５ｃｍ、√３ｃｍ、２ｃｍの三角形も作図できます。あなたは作図できますか？

このように√Nのような作図は簡単に作図できることはお分かりでしょうか？

回答No.6

komimasaH

１，２は定規で測れます。
直角も定規で作図できます。
斜辺は線を引くだけ
長さが√３になるのは結果的にそうなる
と考えたらどうでしょうか。

お礼

皆様、ご回答ありがとうございました。

参考にさせていただきます。

回答No.5

noname#101087

まだ目覚めてませんでした。

長さ1と2の60度の辺なら定規や分度器でOKなのですね。
そのあと定規で残りの辺を引いて「できちゃったルート3」、というのはいかがなものでしょうか。

回答No.4

noname#101087

長さ1と2の直角辺なら定規や分度器でOKなのですね。
そのあと定規で斜辺を引いて「できちゃったルート3」、というのはいかがなものでしょうか。

回答No.2

Jasmine_ss

まずはそこまで考えることに賞賛したいです・・・

個人的な意見です。
線はもともとは点の集合ですよね。
その点の面積こそが無限大で、絶対に０にはなりません。
そのくらいのミクロの端数は取るに足らないのでは・・・？
もしくは、√というのは、人間が計算式を表すにあたっての理論上の仕組み（円周率を３．１４に省略していることと同じ！）であって、人間が理解できる限界なのでは？
もしも√を無限小数で計算するとなると、数学のほぼ全ての理論が崩壊するのでは？

などなど、ない頭で一生懸命考えてみました。
ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

>実際に定規や分度器で作図が出来ると思うのですが
分度器を使ったら作図とは言いません。

>作図できるとはどういうことなのですか？
定規(目盛りなし)とコンパスで書かれた直線、円の交点として求められる線分や点のことですね。

>目で見えているのに、永遠に数字が続いていくってどういうことだろう
それが「連続」ということです。またの名を10進法による表記の限界。デデキントの切断とかでググってみましょう。