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ラプラス変換
本によると sinωt・u(t) のラプラス変換が ω/(s^2+ω-2)になっているのですが これはただの sinωt のラプラス変換で u(t)の影響はどうなってますか？
- osiete_kun
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- ringouri
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通常の(片側)ラプラス変換では、積分域が0から∞で定義されているので、f(t)のt<0における扱いが曖昧になっています。 定義式からは、f(t)がsinωt・u(t)であろうが、sinωtであろうが、同じラプラス変換 L[f(t)]=F(s)が得られる訳で、確かに？？ですね。 f(t)のt<0における扱いが問題になるのは、推移定理： L[f(t±τ)]=exp(±τs)L[f(t)]=exp(±τs)F(s) において、f(t±τ)をどのような関数と理解するか、という場合です。 大抵の教科書に、この注意は記述されていると思いますので、ここでは説明しません。 結論的には、F(s)=ω/(s^2+ω^2)に対応するf(t)は sinωt ではなくて、 sinωt・u(t)だと理解する方が、より理論の整合性があることになります。（ラプラス変換の理論内部の整合性およびフーリエ変換の理論との関係など。）
- guuman
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ラプラス変換は 通常片側変換で行われる これは欠陥変換であり δ（ｔ）関数ですらｔ＝０をどうするか問題になる よりよい変換は 両側ラプラス変換であり これを使う場合には u(t)を掛けるのである 両側変換は公式がきれいになりすっきりする 左側にどこかの時点から物事が始まる関数 または 左側に急減少な関数 であることを前提とするだけでよいので これからは両側変換を使うべきだ ｔ＝０が始まりにすると 公式は汚くなるし ０始まりに時間シフトをしなければならないようになる ただし答案用紙やレポート用紙には 「両側」の接頭語をつけなければならない
- foobar
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u(t)はt<0で0，t>0で1の関数． これをかけると,t<0で0になります． が，ラプラス変換の式を見ると，元々0<t<∞で積分しているので，t<0である値になっていても，0になっても変換した結果には影響しません．
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