消費エネルギー

質問

2端子素子の電圧および電流がそれぞれ
v=10sin2πt
i=15sin2πt
であたえれれるときt=0から10までのあいだにこの素子で消費されるエネルギーを求めよ。

このエネルギーというのは電力のことですか?
電力ということにして計算したら
1250wになりました。
でも答えは750ジュールなんです。
変換の仕方　または正しい考え方を教えてください。
お願いします。

回答No.3

ymmasayan · ベストアンサー

No.1のymmasayanです。補足にお答えします。

＞　式は２πtであってますよ。ていうかそうかいてあります。

そうですか。それでは、周波数が１Ｈｚということですね。
まー、間違いであっても無くても、（１Ｈｚでも５０Ｈｚでも）siegmund先生がおっしゃるように、
計算結果は変わりませんので安心（？）してください。

＞　下の式はt=10を入れて計算したんですか?

そうです。１０秒です。siegmund先生は理論的に積分で計算されていますが、私の簡略計算と一致しています。（なにぶん、私は実務家ですので）

お礼

どうもありがとうございました。
工学部も結構そういうところがあるかも(実務的?)

回答No.4

siegmund

siegmund です．
私の No.2 の式の一部に周波数の f が抜けるミスタイプがありました．
回答締め切り後ですが，文章でなくて式のミスタイプですので，
サポート担当様にお願いして訂正を載せていただくことにしました．

最初は f=1 [Hz] にしていたのですが，
> まあ，f を残しておきましょう．
に方針を変えたときに，一部の式に f を入れるのを忘れました．

(3)　　w = 150 (sin 2πft)^2 [W]
(4)　　∫{t=0 to 10} 150 (sin 2πft)^2 dt
(5)　　∫{t=0 to 10} 150 (sin 2πft)^2 dt
　　　　 = 750 - 150 sin(40πf)/8πf [J]

と訂正します．

ついでに，ちょっとコメント．
ymmasayan 方式(普通はこのやり方)は，
電流と電圧を実効値(1/√2 倍にする)で表現すれば，
交流であることは忘れてあたかも直流であるように電力量を計算してＯＫ
だということです．
つまり，(10/√2)(15/√2) = 75 [W] が平均電力になっています．
ただし，
v = 10 sin 2πft
i = 15 sin (2πft+φ)
の様に，両者の位相が違っていると多少修正が必要で，
75 cosφ [W] が平均電力になります．
詳細は，テキストなどで力率のところを参照ください．

お礼

わざわざ有難うございます。
また機会があったらよろしくお願いしますm(__)m

回答No.2

siegmund

エネルギーと電力がどういう量であるかについて混乱されているようです．

電力というのは，単位時間あたりの電気エネルギーのことです．
エネルギーの単位はジュール [J]，
したがって，電力の単位はジュールを秒 [s] で割った [J/s] ですが，
[J/s] のことを特別に名前をつけてワット [W] と呼んでいます．
ですから，100 [W] の電球でしたら，１秒あたり 100 [J] のエネルギーを
消費することになります．
１時間でしたら，100 [W] × 3600 [s] = 360000 [J] の消費です．
こういうときには，電気エネルギーのことを電力量としばしば呼んでいます．
上の例でしたら 360000 [J] が電力量です．

電力会社に払う電気料金は，基本的にどれくらいの電気エネルギーを
消費したかで決まります．
電力会社の伝票など見ますと，消費電力量が○○ [kW h] と書いてあります．
1 [kW] を１時間使うと 1 [kW h] ですので，
上の 100 [W] を１時間使った例ですと，0.1 [kW h] ということになります．

ちょっと話がそれました．
電力 w (単位のワットではありません，小文字で書いていることに注意)が
(1)　　w = iv
で表されるのはご存知の通り．

あれ，i,v の式に単位が書いてありませんね．
電流や電圧ばかりでなくて，単位のある量は数字だけでは意味がありませんよ．
常識的に，および答からして，
i はアンペア [A] 単位，v はボルト [V] 単位なのでしょう．

ん，sin の中身は 2πt ですか？
t は秒単位？
それなら，周波数の f (単位はヘルツ [Hz])が入って sin 2πft のはずですが，
それとも，f=1 [Hz] なんですか？
まあ，f を残しておきましょう．

(2)　　[W] = {AV]
は大丈夫ですよね．
i,v の式を代入して
(3)　　w = 150 (sin 2πt)^2 [W]
になります．
電力が一定なら時間を掛け算するだけでエネルギーになりますが，
今は時間によって刻々電力が変化しますから積分しないといけません．
したがって
(4)　　∫{t=0 to 10} 150 (sin 2πt)^2 dt
を計算すればよい．
計算は倍角公式を使えば簡単で
(5)　　∫{t=0 to 10} 150 (sin 2πt)^2 dt = 750 - 150 sin(40πf)/8πf [J]
になります．
第２項は，10秒が周期の整数倍になっていないことからのお釣りで，
普通は知らん顔をしてしまいます
(十分長い時間をとれば，第１項に比べて無視できます)．
したがって，答は 750 [J] です．

余計なことかも知れませんが，
量の定義や概念，単位関係の把握をしっかりされるようにおすすめします．
電力？ よく聞く言葉だからわかってるよ，で済ましちゃっちゃいけません．

投稿しようとしたら，ymmasayan さんのご回答が出ていました．
ymmasayan さんのやり方は，いわゆる実効値で計算したものです．
通常は私のような面倒なことはしないで，ymmasayan さんの様に計算します．
でも，ymmasayan さん方式が正当化される理由が上の計算なのです．

回答No.1

ymmasayan

まず式が間違っていませんか？

＞　v=10sin2πt
＞　i=15sin2πt

普通は2πtでなく2πｆtのはずです。

＞　エネルギーというのは電力のことですか?

電力でなく電力量です。ジュール＝Ｗ・Ｓ（ワット・秒）です。
（ｖ／√２）×（ｉ／√２）×ｔ＝１０×１５／２×１０＝７５０Ｗ・ｓ＝７５０ジュール

補足

式は２πtであってますよ。
ていうかそうかいてあります。
下の式はt=10を入れて計算したんですか?