証明

質問

（１）ａが３の倍数でないならば、ａの二乗（ａ×ａ）ー１は３の倍数であることを示せ。
（２）ａの二乗（ａ×ａ）＋ｂの二乗（ｂ×ｂ）＝ｃの二乗（ｃ×ｃ）が成り立つとき、ａ、ｂの少なくとも一方は３の倍数であることを示せ。
（３）ａ、ｂが互いに素で、ａの二乗（ａ×ａ）＋ｂの二乗（ｂ×ｂ）＝ｃの二乗（ｃ×ｃ）が成り立つとき、ｃは奇数であることを示せ。

これらの問題の回答と解説をお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

問題の丸投げはマナー違反で削除対象になります。
あなたの解答を分かる範囲でお書きになるか、どのように解くかについての考え方を示して合っているかどうかを聞くようにして質問するようにして下さい。削除対象だと解答しても無駄になるので回答がつきません。質問の仕方を工夫して下さい。

（１）のヒント
a=3n-1, a=3n-2（n>1）と置いてみてください。
このとき　a^2 -1＝(a-1)(a+1)はどうなりますか？
（２）(a,b)=(3m±1, 3n±1)の組み合わせに対してa^2+b^2が（・・・）^2形式にならないことを示す。
（３）(a,b）は（偶数、奇数）、（奇数、偶数）の組み合わせしかありえないことを示し、残ったこの2つの２乗和が奇数になることは明らか。

お礼

ご回答ありがとうございます。

(1)で、ａ＝3n-1と3n-2の両方を代入しなくてはならないのですか？
　　ａ＝3n-1だけ代入しただけではだめなのでしょか？
(2)で、ａ=3n-1,b=3m-1を代入して、3(3n^2+3m^2-2n-2m)+2として、こ　　れは３の倍数にならないから、少なくとも一方・・・とやっては　　間違いでしょか？
(3)で、(a,b）は（偶数、奇数）、（奇数、偶数）の組み合わせしかありえないことを示す方法がまったく検討がつかないのですが、教えていただけないでしょか？

回答No.2

Tacosan

(1)&(2): 「3の倍数でない数字」は全て 3n-1 の形で書けますか?
(3): a と b が両方偶数, あるいは両方奇数と仮定して「おかしくなる」ことを示す. 前者は簡単だけど後者はちょっと考える必要あり.