多次元正規分布の平均の導出について
- マクロ経済の論文で使用される多次元正規分布において、平均の導出が分散共分散行列に関連していることに疑問を感じています。
- 平均を求める際に、分散共分散行列がどのように関係してくるのか理解できずにいます。
- 確率の本を調べても十分な解説が見つからず、アドバイスがほしいです。知識不足で申し訳ありません。
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多次元正規分布の平均の導出について
最近、マクロ経済の論文を読み出しているのですが、 どうしてもその証明で納得できないところがあり、 周りに聞いても、分からないようなので質問します。 (a;b)を列ベクトル (a,b)を行ベクトル。 (a,b)'を(a,b)の転地行列。 t=0,1,2・・・。 Dt≡(D1t;D2t;・・・;DJt)。Xtはベクトルではない普通の確率変数。 Dt,Xtは時間を通してi.i.dで、平均ゼロ。 u(t)≡(Dt;Xt)~N(・,σ) 平均は「・」で省略、分散共分散行列σは σ= ( σDD,σDX ) ( σXD,σXX ) ←2×2の行列 この条件で 論文の証明を見ると Et[exp{-(A;B)'u(t)}] =exp[-{(A;B)'σ(A;B)}/2] となっており、 平均出すのにどうやったら分散共分散行列がでてくるのだろう? という状況になっており、図書館で確率の本を見てみても イマイチ分かりません。 自分の知識不足が原因ですいませんが、 何かアドバイス等がありましたら なんでも構いませんのでよろしくお願いします。
- li0n
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前提がよく理解できませんが、 つまり、u(t)というのは、J+1次元正規分布(列ベクトル)てことですか? (A;B)'てのは、J+1次元の(定数)の行ベクトルてことですか? そうであるとして、例えばJ=2の場合を考えて u(t)= (u1 u2 u3)' (A;B)' = (a1 a2 a3) だとすれば、 E[exp{-(A;B)'u(t)}] = E[exp(-(a1*u1+a2*u2+a3*u3))] = 1 - E[(a1*u1+a2*u2+a3*u3)] + 1/2*E[(a1*u1+a2*u2+a3*u3)^2] - 1/6*E[(a1*u1+a2*u2+a3*u3)^3] + … = 1 - E[(a1*u1+a2*u2+a3*u3)] + 1/2*E[(a1*u1+a2*u2+a3*u3)^2] (正規分布の3次以上のモーメントは0) ですが、この2次の項から共分散行列がでてきます。
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補足
>u(t)というのは、J+1次元正規分布(列ベクトル)てことですか? >(A;B)'てのは、J+1次元の(定数)の行ベクトルてことですか? そのとおりです。