三角関数の問題です。

質問

△ＡＢＣにおいて，－１＜cosＡ＜１であることを用いて，
次の不等式が成り立つことを証明せよ。

　｜ｂ－ｃ｜＜ａ＜ｂ＋ｃ

↑絶対値の棒

回答No.3

oshiete_goo · ベストアンサー

No.1 ntaさんのおっしゃる通りで, (もう)出来たと思いますので, 答え合わせの意味で.

[証明]
△ABCで -1<cosA<1 ・・・(1)

余弦定理
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA ・・・(2)

[前半]a<b+c の証明
両辺とも正より,2乗して比べる.
(右辺)^2-(左辺)^2
=(b+c)^2 - a^2
=b^2 + 2bc + c^2 -a^2
=2bc+ 2bc*cosA ((2)よりb^2+c^2-a^2=2bc*cosA)
=2bc(1+cosA)
>0 ((1) より cosA>-1 <==> 1+cosA>0)

するとa>0, b+c>0 より a<b+c がいえる.

[後半]|b-c|<a の証明
両辺とも0以上より,2乗して比べる.
但し,「一般に実数xに対し |x|^2=x^2」を利用する.

(右辺)^2-(左辺)^2
=a^2 - |b-c|^2
=a^2 - (b-c)^2 (b,cは辺の長さで実数より, |b-c|^2=(b-c)^2)
=a^2 - （b^2- 2bc + c^2）
=a^2 - b^2 + 2bc - c^2
=2bc- 2bc*cosA ((2)よりa^2-b^2-c^2=-2bc*cosA)
=2bc(1-cosA)
>0 ((1) より cosA<1 <==> 1-cosA>0)

するとa>0, |b-c|>=0 より |b-c|<a がいえる.

以上より
|b-c|<a<b+c
が示された． （証明終わり）

[補足]余弦定理(2)を２通り変形して使っていますが，－でくくれば上で使った式だけでも済むでしょう．一番平凡にやった場合の解答例です．

回答No.2

bean

まず、
　|ｂ－ｃ|＜ａ・・・(1)
　　ａ＜ｂ＋ｃ・・・(2)
　と、連立不等式の形にします。

｛ｘ＞０, ｙ＞０の時、ｘ＜ｙ を ｘ^2＜ｙ^2 と置き換えることができる｝

ａ, ｂ, ｃは三角形の各辺なので、ａ＞０, ｂ＞０, ｃ＞０、

よって(1)より、(ｂ－ｃ)^2＜ａ^2
　　　　　　　　　　　 ０＜ａ^2－(ｂ－ｃ)^2

a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c cosA　を代入する。

　　０＜b^2 + c^2 - 2 b c cosA －(ｂ^2－2ｂｃ＋ｃ^2)
　　０＜2ｂｃ－2ｂｃ cosA
　　０＜2ｂｃ(１－cosA)・・・(3)

　－1＜cosA＜1　
　　　　　　　　↓各辺に －1 をかける
　－1＜－cosA＜1
　　　　　　　　　　　↓各辺に １ をたす
　1－1＜1－cosA＜1＋1

　０＜1－cosA＜２・・・(4)

(4)の式から(3)の式が成り立つことが証明できます。

(2)の式でも同じように計算すると証明ができるはずです。

僕が教えてもらったことを思い出しながら打ったのでわかりにくいかもしれませんが、がんばって解いてください。

回答No.1

nta

余弦定理
a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c cosA
を利用すれば簡単に証明できるのではないでしょうか。