数学の講師仲間である議論,逆を確かめる必要はあるのか?

質問

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
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次の等式が成り立つように，定数a，bの値を定めよ．
lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3
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これを解くのに、
lim[x→1](x^2+ax+b)=lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x-1)}(x-1)
=lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x-1)}lim[x→1](x-1)
=3*0=0
だから、
1+a+b=0
b=-(a+1)を与式に代入して、約分して、
lim[x→1](x+a+1)=3
より、
1+a+1=3
a=1、また、b=-2

ここまでは異論ありませんが、その後、
「逆にa=1、b=-2のとき、与式が成立する」
と逆が成り立つことを書いておく必要があるかないか、議論になりました。
ある人は、書くべきだ、生徒にもそう指導すべきだ、といいます。
ある人は、特に書くべきでない、書くべきというならすべての数値決定問題に書くべきだが実際にはそうなっていない、なぜこの場合だけ特別視して逆を確かめるのか、といいます。

どうなのでしょうか？

回答No.30

masuda_takao

かなり錯綜したやり取りになっているようですが、誠に勝手ながら、問題意識の当初に立ち戻って話を整理したいと思います。
　本問の考え方を文章で述べれば、例えば以下のようになるでしょう。

「lim_{x→1} (x^2 + ax + b)/(x - 1) = 3　...[0]
...が成り立つためには、２次式 x^2 + ax+ b が因数 x - 1 を持つことが必要である。...[*1]
　そのための条件は 1 + a + b ＝ 0 ...[*1a]
　[*1] 即ち [*1a] のもとで、[0] が成り立つためには、問題の関数に [*1a] を用いて
lim_{x→1} [x^2 + ax + (a - 1)]/(x - 1)
= lim_{x→1} (x + 1 + a) = 3
...より、a + 2 ＝ 3　...[*2]」

...というわけで、論理的には
「[0] ならば [*1a] 且つ [*2] が成り立つ」
という議論になっているわけです。質問者さんの答案例にある内容は、ここまでです。

　「[*1a] 且つ [*2] ならば [0] が成り立つ」ことは、この段階では述べられていないわけです。で、これを示さない限り、[0] 式と「[*1a] 且つ [*2]」の同値性は保証されません。
　後者は示すのが易しい内容ではありますが、命題の同値性をキチンと踏まえることを重視するなら、この“逆の議論”は...ひとことで良いので...述べるべきではないかと僕は考えます。.
　別の考え方によっては、又は問いの要求する内容によっては、逆の議論を書かない場合もあるかと思いますが。

　「書くべき」派の方々と、「書かざるべき」派の方々との、双方の論拠の違いにちょっと興味があります。

　あと、特別視云々ですが、私見を述べれば、必要性と十分性の議論に分けているか、命題の同値性で議論を進めているかに普段から留意していれば、どういった場合に「逆の議論」が必要になるかは分かるはずで、必要な場合はひとことで済む場合でも全て書くべきだと思います。
　少なくとも、命題同士の関係を理解して議論を進めていくことを重視し、又はその能力を身に付けていることをアピールさせる練習をさせるのであれば。
　そうした観点に立てば、この手の問題を解くときだけ書くという話にはならないんじゃないかと。