数学の講師仲間である議論,逆を確かめる必要はあるのか?

質問

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
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次の等式が成り立つように，定数a，bの値を定めよ．
lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3
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これを解くのに、
lim[x→1](x^2+ax+b)=lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x-1)}(x-1)
=lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x-1)}lim[x→1](x-1)
=3*0=0
だから、
1+a+b=0
b=-(a+1)を与式に代入して、約分して、
lim[x→1](x+a+1)=3
より、
1+a+1=3
a=1、また、b=-2

ここまでは異論ありませんが、その後、
「逆にa=1、b=-2のとき、与式が成立する」
と逆が成り立つことを書いておく必要があるかないか、議論になりました。
ある人は、書くべきだ、生徒にもそう指導すべきだ、といいます。
ある人は、特に書くべきでない、書くべきというならすべての数値決定問題に書くべきだが実際にはそうなっていない、なぜこの場合だけ特別視して逆を確かめるのか、といいます。

どうなのでしょうか？

回答No.17

fool_ish

私は，
A：同値変形であるときは，その旨を明記せずともよい；
　 同値変形でない場合には，必要/十分の別を記す必要がある
と，
B：1行ずつ読むだけで筋が通るのが模範解答である；
　 （読者が，逆をたどることをかってに期待しない）
との2つの理由により，
1. 質問文の答案は模範解答としては不十分で，
　 1+a+b=0が必要条件であること，および，
　 b=-(1+a)を代入するという操作が「逆」であること
　 とを明記する必要がある
と考え，#8に答案例を示した．また，
2. お礼の文にある解答は，同値変形であることが明記されているから，
　 当然，十分であることを確認する必要がない
ことは確かだが，
質問文にある解答と，お礼文にあるような解答とは異ならない
とする主張には，
3. 質問文の解答は，必要/十分の区別が書かれていないにもかかわらず，
　 読者がそれを自主的に確認する必要がある箇所が存在するのに対して，
　 お礼文の解答は，1行ずつが同値変形で通っている
という理由で，反対する．

なお，
C：生徒にどのように指導すべきか
という問題と，
D：生徒の答案をどのように採点すべきか
という問題は，切り離して考える必要がある．
質問文にあるような答案を見せられたとき，減点すべきか否か
と問われたら，それは採点者の裁量で統一してよいと答えるが，
質問文にあるような答案を，模範解答として生徒に示すべきか否か
と問われたら，上記の理由で私は反対する．

いずれにせよ，これはどのような立場で生徒を指導するのかという点で
決まる問題であるから，まずはご自分の立場を明確にする必要があろう．
前にも書いたとおり，私は
「明らかならば省略してよく，省略した解答を無言で模範解答とする」
とする立場で指導することは，明らかさの加減が明らかでない，
という理由で反対である．
これも，省略された解答を減点するかどうかとは別の問題である．

私は，たとえくどくとも，誰が見ても妥当であるのが模範的な推論である，と考えている．

お礼

>質問文にあるような答案を，模範解答として生徒に示すべきか否か
と問われたら，上記の理由で私は反対する．
>いずれにせよ，これはどのような立場で生徒を指導するのかという点で決まる問題であるから，まずはご自分の立場を明確にする必要があろう．

僕自身の立場もいろいろありまして、「予備校講師らしくかっこよく教える」立場と、「数学者らしく厳密に書く」立場と、「教科書執筆者らしく簡素さにも重きを置く」立場があります。
（実際には、数学者でも執筆者でもないですが）

そのいずれの立場であっても、質問の解答は模範解答である、と主張したいです。
僕がお礼で述べた同値変形による解答は、分かりやすさや、解答の慣習という点で劣る。
また、質問の解答の後に「逆にa=1、b=-2のとき、与式が成立する」を書くことは蛇足だと主張したいです。

そして、賛成の人、反対の人がいるのは事実のようです。
お互いが主張したあと、その後はどうしたらいいでしょう。
再び主張したらいいでしょうか？
説得することをあきらめるほうがいいでしょか？