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場合の数についての簡単な問題
いつもお世話になっております。 今回は場合の数について教えていただきたいと思います。問題は次の通りです。 男子15人、女子10人の中から3人の委員を選ぶとき、少なくとも女子が1人入るような選び方は何通りあるか。 答えは、25人から3人を選ぶ25Ｃ3通りから、3人とも男子となってしまう15Ｃ3通りを引いた1845通りとなるようです。 ここで、女子は必ず選ぶのでまず10Ｃ1通りとして、残りの全体24人から2人選ぶ24Ｃ2通りをかけると2760通りとなり、大きく外れます。この方法はどの点が間違っているのか教えて下さい。基本的なところを間違っているのは分かるのですが、それがどこか気づきません。よろしくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー
それは後の考えでは重複する組み合わせが発生しているからです。簡単化して男３人(A,B,C)と女２人（e,f)で考えます 一番左側の列は５人から３人を選ぶ組み合わせで１０通りあります。 女が最低一人入る組み合わせは９通りです。 ABC｜ eAB ｜ fAB ABe｜ eAC ｜ fAC ABf｜ eAf ｜ fAe ACe｜ eBC ｜ fBC ACf｜ eBf ｜ fBe Aef｜ eCf ｜ fCe BCe｜ BCf｜ Bef｜ Cef｜ 真ん中の列はeさんを固定した時の組み合わせで、右側はfさんを固定した組み合わせです。この２列を足すと１２通りですから、すでに5Ｃ3より大きくなっています。 良く見てください。女が２人選ばれるパターンが重複していますね。 だから合わないのです。
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- quantum2000
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どこが間違っているか，具体的な例をあげてみます． 質問者さんの選び方だと， まず最初に選ぶ女子１人として，女子のＡさんを選び， 次に選ぶ２人として，女子のＢさんと男子のＣ君を選ぶとしましょう．（この選び方を「Ａ，ＢＣ」と表してみます．） この選び方に対して， まず最初に選ぶ女子１人として，女子のＢさんを選び， 次に選ぶ２人として，女子のＡさんと男子のＣ君を選ぶとしましょう．（この選び方を「Ｂ，ＡＣ」と表してみます．） すると， この２つの選び方は，結果的には２５人の中から「Ａ，Ｂ，Ｃ」の３人を選ぶという， 同じ選び方（１つの選び方）になってしまっています！ ところが，質問者さんの数え方だと，この２つの選び方は別の選び方として， ２７６０通りの中では，２通りとしてカウントされてしまっているのです！！ という訳で，質問者さんの数え方だと，正解よりも大きい数の答えが出てしまっているのです！ どうでしょう？
お礼
とてもわかりやすく解説していただきました。一人選ぶ女子を固定しても、二人目以降に選ぶ女子の組み合わせで、他の場合と重複してしまうのですね。そうだったのかあ。なぜ気づかなかったのか悔しいですが、やっと理解できました。 丁寧に解説して下さったすべてのご回答者さま、本当にありがとうございました。いずれもとても分かりやすいものでした。
- pottakun
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男子Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ・・・と女子ａ，ｂ，ｃ，ｄ・・・がいるとします。 仮に最初の１０Ｃ３の中にａが選ばれるとします。そして次の１５Ｃ３でＡとｂが選ばれるとします。 この場合と、最初の１０Ｃ３の中にｂが選ばれるとして次の１５Ｃ３でＡとａが選ばれるとする場合、これはダブっていますよね。 だからこの方法は同じようにかなりのダブりが出てきてしまうので、ダメなわけです。 もしこの方法でやろうとするならば、 （１）女子が１人と男子２人の場合 （２）女子が２人と男子１人の場合 （３）女子が３人と男子０人の場合 にわけなければなりません。 ちなみに （１）１０Ｃ１×１５Ｃ２＝１０５０ （２）１０Ｃ２×１５Ｃ１＝６７５ （３）１０Ｃ３＝１２０ すべてたすと１８４５ですね。
お礼
ありがとうございます。私のやり方だと女子どうしで重複してしまっていたのですね。他のやり方の場合は、女子と男子を区別して数えることで正解できるのですね。勉強になりました、ありがとうございました。
- age_momo
- ベストアンサー率52% (327/622)
男をM1-M15,女をF1-F10とすると質問者さんの数え方は最初に女F1-F10から一人選びます。 例えばF1を選んだとして後はM1-M15,F2-F10から2人、これにはF1,F2,F3という選択も 当然含まれます。 また、最初にF2を選んだ時も次に2人選ぶときにF1,F2,F3を選ぶことが出来ます。 つまり、同じ組み合わせを2回（最初にF3を選んでも同じものを数えるので本当は3回） 重複して数えてしまっています。だから正解と比べて大きい数字が出てしまっています。 場合の数を数える時には同じものを重複しないように工夫する必要があります。
お礼
さっそくお答えいただきまして、ありがとうございます。最初に選ぶ人がF1あるいはF2という違いがあっても、二人目以降の選択結果で結局重複してしまう場合があるのですね。気づきませんでした、ありがとうございました。
お礼
ありがとうございます。丁寧に例まで示していただいて、感激しました。実際に書き上げてみると、なるほどそうだなぁと実感できました。自分の頭の悪さには少しがっかりですが、教えてもらったので、もう間違えないと思います。また機会がありましたらよろしくお願いします。