ドミノ倒しの伝播速度の計算方法は？

質問

昔から疑問に思っていたことです。
ドミノ倒しの倒れていく速度って、どのような式で表されるのでしょうか。
どなたか導出過程も含めて教えていただけないでしょうか。
機械工学の大学レベルの知識は持ってます。
よろしくお願いします。

回答No.6

vq100mg

＃５の補足欄拝見しました。まず、「後面からはポテンシャルエネルギー Pp(-) と回転エネルギー Pk(-) が流出し・・・」の件ですが、検査体積および、Pp(-) と Pk(-) という項の定義が、有意義に解釈できません。Pp は送り込まれるポテンシャル、Pk は熱や音として消え行く損失総量としてもともと導入しました。Pp(-)、Pk(-)とは波頭の微小体積を除いた後ろの波の全体積相当を示しているのでしょうか。それとも微小体積通過後のその面から後ろに送り込まれるエネルギの流れを示しているのでしょうか。ご提示の(1)式の形にふさわしい定義が発見できませんでした。

波頭から入って来たポテンシャルは「波尾で徐々に解放」されながら「波頭のドミノを回転させる」エネルギとなるのです。先頭のドミノはあくまでも後続ドミノ郡から押されて倒れるのです。 ポテンシャルは波尾（裾野）の折り重なるドミノの連結経路の力を介して自由回転面である波頭で運動エネルギとなって発現するのです。＃５における Pk は回転エネルギでは無く、回転エネルギの総体積「損失」です。＃５の手法では後方から前方に送られるような、波の内部のエネルギ流に触れていません。総エネルギで考えている限り、取り扱わなくて済むように思います。

( 1 / 6 ) m V^3 = m g ( h / 2 ) V 　--- (5)
のように書くと単に「位置エネルギ　＝　回転エネルギ」に見えてしまいますが、＃５での次の記述は疑問に答えることになりませんでしょうか。
＞実はドミノの回転エネルギ"のみ"に着目する限りにおいては、・・・・　散逸の総和は、回転の初期エネルギ（回転エネルギの最大点）に一致しているのは自明であり、それが、＃２のように単純に「転倒によって放出される位置エネルギ　＝　回転エネルギ」でも速度が求められる理由でしょう。

＃２での次の記述はいかがでしょう。
＞mは集団の仮想的な総質量と考えても、あるいは一つあたりの質量と考えても良いでしょう。ただし後者の立場をとる時、両辺のmは数値的には等しくとも、概念的には同一個体のものではありません。いずれにせよmは消えますが・・・。

集団、波全体を使うのが肝ですが、もう一つ、「運動量は保存される」が「運動エネルギは保存さない」という所も肝です。

さて次のテーマですが、V = 0 も、解ですね。最初の一撃が加わっていなければ倒れませんし、またドミノが厚くて崩落後の傾斜で重心が底辺の外に出ないような場合はポテンシャルエネルギを獲得できません。厚さを a、 間隔「ピッチ」を s とするなら、V = √( 3 g h )　には、「　厚さ << 間隔 << 高さ 」の大小条件が付帯しています。厚さが間隔に対して無視できないような場合、崩落後留まる傾斜から、次のような最終重心位置が計算されます。
ho = ( a / 2 s )( h + √( s^2 - a^2 ) )
ポテンシャル経由の厚みの効果に限定すれば、h を ( h - ho ) を置きかえれば良いでしょう。ただしiPod 例では、ho は 1.2 cm に過ぎず、速度減少への寄与は 6 %に過ぎません。他の厚さ効果で打ち消される可能性があります。

ところで、間隔の効果に関して、一つ見逃していました。考察に誤りが無ければ、その補正項は大きいので有望です。iPod はツルツルで大丈夫になります。何かというと、先頭のドミノが倒れ初めてから、その一つ前のドミノに接触する間の速度変化です。無視できないリップルがあるようです。

ここからは簡単な関数では表現できない部分があるので、
h = 10 cm、 s = 7 cm （間隔はピッチ）、厚さは零（難しいので）
を扱います。

まず隣り合い接触したドミノの傾斜には次の関係があります。都合により水平からの角度にしました。θ1 が波頭に近い方、θ2 が波尾側とします。
tan( θ1 ) = sin( θ2 ) / ( cos( θ2 ) - ( s / h ) )
先頭を直立 90 度とし、続くドミノがどのような角度で寄り掛かっているか、また、微小回転を一群に加えた時の各ドミノの回転量の関係から角速度比（周速比）を、順次求めると下表のようになります。

角度　、　角速度比
90.0　、　　1
45.5　、　　1　(基準）
15.5　、　　0.43
4.7　、　　0.14
1.4　、　　0.04

直立するドミノに接触した時にのみ、両ドミノの速度が一致するというのはおもしろいですね。と同時に、反発係数を無視した衝突の計算には特に好都合です。衝突時の合体運動速度が容易に計算できます。例えば直立ドミノＢに後ろのドミノＡ一つが単独で衝突し、反発なく接触したままになれば、その瞬間のＡ、Ｂ 両速度は、運動量保存則から衝突前のＡの速度の半分になります。そして時間が経過し、ドミノＢがさらに前方のドミノＣに衝突する頃までには、後ろから押され続けた結果、Ａが衝突した時と同一の速さを獲得します。さて、実際には衝突する側のドミノは折り重なっています。それを含めて計算してみましょう。この等価運動量はどうなるでしょう。等価質量、等価モーメントと言い換えても良いでしょう。テコの原理、つまり角速度比で換算される筈です。それが、ドミノ一つの何倍か計算しましょう。上表より、
1 + 0.43 + 0.14 + 0.04 + ・・・　= 1.6
となります。これが単独ドミノＡに換算した角運動量です。

衝突直後の速度は運動量保存より、衝突直前の
1.6 / ( 1 + 1.6 ) = 0.62
倍になります。では、衝突直前の速度はいくらかというと、そこは最大速度です。上述のように、これから回転エネルギは失われる一方の極値状態だからです。これが　√( 3 g h )　で与えられる速度だと思います。それを Vm と書きましょう。
本当の速度変化詳細は難しそうなので一時近似しましょう。つまり
v = Vm ( 0.62 + 0.38 ( t / T ) ) ; t = 0～T
と近似します。これをならした等価平均速度 Ve は、
Ve = Vm ( 0.62 + 0.19 ) = 0.81 Vm
ここに約２割の補正項が得られました。＃５で紹介の円弧の速度遅延効果：
( SIN θ ) / θ 　(ここのθは垂直からの角度[rad]、一貫性がくずれて失礼）
すなわち、45度で、0.90 も併せて用いれば、、

伝播速度： 0.81 * 0.90 * √( 3 g h )
= 125 [cm/s] と計算されます。
＃２で報告の実測値は、120 [cm/s] ですから、良く合っています。いささか、辻褄合わせ的な点も否めませんが。

補足

（お礼欄は字数制限に引っかかったので、お礼も含めて補足欄に投稿します。）
回答ありがとうございます。
厚さ・間隔の補正は効果がありそうですね。ですがまだ吟味できていないので、前半についてのみ述べさせていただきます。

検査体積については説明不足で申し訳ありませんでした。というか間違っていました！ごめんなさい（＞＿＜）
一応説明しておきますと、検査体積は波頭を含み波頭と共に速度Vで移動する仮想の直方体を考え、その直方体についてエネルギー保存則を適用します。定常状態なので
　「前面から流入するエネルギー」=「後面から流出するエネルギー」+「検査体積内のエネルギー損失」
が成立します。Pk(-)は損失ではなく回転エネルギー流量としました。Pp(-),Pk(-)は後面位置でのエネルギーと伝播速度Vの積で、検査体積内の総和ではありません。摩擦損失Lfのみ検査体積内の総和としました。Lcは単位時間に波頭で生じる衝突損失です。それで前回の式
　Pp(+) = Pp(-) + Pk(-) + Lc + Lf　（各項は非負）…(1)
が成り立つと思ったのですが、大事なものを忘れていました。検査体積界面での仕事によるエネルギーの授受です。この場合左辺に正の項が追加されるはずです。ドミノ間でのエネルギーの受け渡しがゼロとしてしまったら、速度はゼロとなるに決まってますね…失礼しましたm(_ _)m

ですが、やはり＃５の　( 1 / 6 ) m V^3 = m g ( h / 2 ) V 　--- (5)　はおかしいように思います。
これは、「初期ポテンシャルは全て損失となる」、「損失は回転エネルギーの減少量の総和である」、「回転エネルギーの減少量の総和は波頭での回転エネルギーに等しい」この３つから導いたものということでよろしいでしょうか。しかし、二つ目は成り立たないと思います。

＞実はドミノの回転エネルギ"のみ"に着目する限りにおいては、・・・・　散逸の総和は、回転の初期エネルギ（回転エネルギの最大点）に一致しているのは自明であり、それが、＃２のように単純に「転倒によって放出される位置エネルギ　＝　回転エネルギ」でも速度が求められる理由でしょう。

ここでいう散逸はあくまでも回転エネルギ"のみ"であって、それと同時に位置エネルギーも散逸しています。一つのドミノに注目してみます。そのドミノは、後方のドミノからエネルギーを受け取る、前方のドミノにエネルギーを渡す、摩擦等によりエネルギーを失う、この３つの結果として自分が持つエネルギー（「位置エネルギー」+「回転エネルギー」）を徐々に減少させ、最終的に無限後方でゼロとなります。そして、この関係を空間全体にわたり積分すると「波頭で供給される位置エネルギーは全体の損失に等しい」となります。＃５は回転エネルギーの減少が損失となり、位置エネルギーの減少は前のドミノの回転エネルギーになるとおっしゃっているように解釈しましたが、これは何か理由があってこのように仮定したということでしょうか。

話が変わりますが、現在気になっている点が二つあります。高さhの効果が私のモデルとは逆になっている点と、＃５でおっしゃっていた厚さ・間隔を無限小としたときの速度が二つのモデルで異なる点です。反発係数の効果については衝突をどう仮定するかで大きく異なるのは当然ですが、この２点については私のモデルでも＃５のモデルでも同じ結果になるべきだと思うのですが。。。ということは、やはりどちらかのモデルのどこかが間違っているということでしょうか。うーん。