a（ｘ－α）^n（ｘ－β）^mをβからαまで積分した公式

質問

a（ｘ－α）^n（ｘ－β）^mをβからαまで積分したときの結果がたしか
|a|（β-α）^(n+m+1)/(n+m+1)！みたいな式だったと思うのですが、
この式をご存知の方教えてください。参考URLもあればお願いします。

回答No.5

lick6

age_momoさんが正解です。
×(-1)^(m-1)
○(-1)^m
今グーグルでいろいろ検索してみましたが、具体的に～関数といった名前はなさそうです。
自分もベータ関数に似てるなと思っていろいろ調べてみたのですが、見つかりませんでした。

回答No.4

Mr_Holland

被積分：　a（ｘ－α）^n（ｘ－β）^m
積分区間：α→β

ｍとｎが整数のとき、この定積分は
(-1)^m a（β-α)^(n+m+1) n! m! / (m+n+1)!
になります。

ｍとｎが整数でないときは、ベータ関数Ｂを使って
(-1)^m a（β-α)^(n+m+1) Ｂ(n+1,m+1)
になります。
ちなみに、ベータ関数はガンマ関数を使えば
Ｂ(n+1,m+1)＝Γ(n+1)Γ(m+1) / Γ(m+n+1)
で表されます。

ベータ関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0

ガンマ関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A2%E6%95%B0

回答No.3

age_momo

おっと、いきなり間違いを見つけてしまいました。
部分積分で(x-β)^mを微分した時の係数をかけるのを忘れています。

∫a(x-α)^n(x-β)^mdx=a/(n+1)[(x-α)^(n+1)(x-β)^m]-a/(n+1)∫(x-α)^(n+1)(x-β)^(m-1)dx

=(-1)^m*am！/(n+1)(n+2)…(n+m)∫(x-α)^(n+m)dx
=(-1)^m*am！/(n+1)(n+2)…(n+m)(n+m+1)[(x-α)^(n+m+1)]
=(-1)^m*an!m！/(n+m+1)!(β-α)^(n+m+1)

訂正
∫a(x-α)^n(x-β)^mdx=a/(n+1)[(x-α)^(n+1)(x-β)^m]-am/(n+1)∫(x-α)^(n+1)(x-β)^(m-1)dx

=(-1)^m*am！/(n+1)(n+2)…(n+m)∫(x-α)^(n+m)dx
=(-1)^m*am！/(n+1)(n+2)…(n+m)(n+m+1)[(x-α)^(n+m+1)]
=(-1)^m*an!m！/(n+m+1)!(β-α)^(n+m+1)

ある程度、m,nに対象性が無いと変ですものね。

と書いていたら#1さんが先に投稿してましたね。
答えがほぼ同じなのでどちらかが正解かな。

回答No.2

age_momo

昨日、これに関連する質問をされていましたね。
書き込みしようとして寝てしまいましたｗ

公式かどうかはともかくとしてα→βの範囲でこれを積分するなら部分積分が適しています。
例えば一番簡単な式の場合を例に挙げます(α→βの表記は省略します。また、β＞αです。）

∫(x-α)(x-β)dx=1/2[(x-α)^2(x-β)]-1/2∫(x-α)^2dx
=-1/6[(x-α)^3]=-1/6(β-α)^3

つまり(x-α)(x-β)が残っていればどれだけ項数が増えてもα、βを代入すれば0です。
この性質を利用すると

∫a(x-α)^n(x-β)^mdx=a/(n+1)[(x-α)^(n+1)(x-β)^m]-a/(n+1)∫(x-α)^(n+1)(x-β)^(m-1)dx
=-a/(n+1)∫(x-α)^(n+1)(x-β)^(m-1)dx
=-a/(n+1)(n+2)[(x-α)^(n+2)(x-β)^(m-1)]+a/(n+1)(n+2)∫(x-α)^(n+2)(x-β)^(m-2)dx
=a/(n+1)(n+2)∫(x-α)^(n+2)(x-β)^(m-2)dx
・・・・
・・・・
・・・・
=(-1)^m*a/(n+1)(n+2)…(n+m)∫(x-α)^(n+m)dx
=(-1)^m*a/(n+1)(n+2)…(n+m)(n+m+1)[(x-α)^(n+m+1)]
=(-1)^m*an!/(n+m+1)!(β-α)^(n+m+1)

最後には(x-β)の項がなくなるまで部分積分を繰り返せば簡単になります。
(計算を間違えているかもしれないので結果は確認してください)

回答No.1

lick6

I(m,n) = ∫[α→β] (x－α)^n(x－β)^m dx
とおくと
I(0,n) = 1/(1+n) * (β-α)^(n+1)
部分積分で
I(m,n) = [1/(n+1) * (x－α)^(n+1)(x－β)^m][α→β] - ∫[α→β] {m/(n+1) * (x－α)^(n+1)(x－β)^(m-1)}dx
　　　 = -m/(n+1) I(m-1,n+1)
であるから
I(m,n) = -m/(n+1) * I(m-1,n+1)
　　　　 = -m/(n+1) * -(m-1)/(n+2) * I(m-2,n+2)
・・・・・・・
= -m*-(m-1)*…*-2*-1/(n+1)*(n+2)*…*(n+m-1)*(n+m) * I(0,n+m)
= (-1)^(m-1) * m!n!/(n+m)! * 1/(n+m+1) * (β-α)^(n+m+1)
= (-1)^(m-1) * (β-α)^(n+m+1) * m!n!/(n+m+1)!
こんなんでどうでしょうか。ちょっと自信ないですけど。