確率密度関数は常にないの？

質問

確率分布関数があって確率密度関数がない場合とはどうのような場合でしょうか？
超関数の範囲であっても確率分布関数が微分できないことがあるのでしょうか？
有りそうな気がしますが例示するのは難しいのでしょうか？

よろしくお願いします

回答No.3

linearis · ベストアンサー

うっかり「超関数の範囲であっても」というところを読み飛ばしていて前の回答を書いていたのですが、私が「たとえ連続でも微分できない点がありうるので確率密度関数を分布関数の導関数として定義しない」と書いたのは超関数の意味ではありません。確率論でももちろん超関数を扱いますが、要するに学習レベルに応じて使うということでしょう。私は質問No.267135を意識していましたので、分布関数や確率密度関数を初めて習うときに、数学としてきちんと定義した上で超関数を持ち出すことは無理があると言いたかったのです。もちろん形式的・直感的に離散分布に対する｀確率密度関数’をデルタ関数を使って書いて見せることはあっても、きちんと準備していない以上それを確率密度関数だと言い切ることには躊躇します。
　要するにｙ＝｜ｘ｜は原点で微分できないと言うのと同じ様な意味で、確率密度関数はないことがあるということです。

お礼

そうですね
Ｎｏ．２６７１３５の質問内容を考えると
超関数の範囲で回答するのは間違っていますね
ｙ＝｜ｘ｜は超関数の意味では微分可能ですがＮｏ．２６７１３５の質問者にそれを要求するのは少し無理がありますね
確率論はルベーグ積分を基礎にしていると思ったのですが
ルベーグ積分不可能な分布関数をもつ確率変数というのは存在するのでしょうか？
存在するような気がしますが・・・
もし知っていたら教えてください
よろしくお願いします

補足

ルベーグ測度でない測度を人工的に作らないといけないのでできるでしょうがつまらないですね

どうもありがとうございました

回答No.2

linearis

確率密度関数の定義は、「積分して分布関数になる関数」です。つまり、
F(x)=P(X≦x)＝∫ {p(t)}dt を満たすp(x)のことです。ここで積分範囲は-∞からxまでです。F(x)は単調非減少ですが、たとえ連続でも微分できない点がありうるので確率密度関数を分布関数の導関数として定義しないのです。
さて離散分布の場合おっしゃる通りデルタ関数を持ち出すと形式的には｀確率密度関数’を書くことができますが、デルタ関数はいわゆる関数ではなく、これはあくまでも「形式的に」ということです。詳細は省きますがもちろんデルタ関数は超関数としてきちんと（理論的に）認知されている概念ですが、通常確率密度関数と言ったら超関数等を持ち出さない通常の関数の範囲で考えるのだと思います。ちなみにp(x)dxを確率素分ということもあります。

お礼

ディストリビューションで定義される超関数においては
すくなとともルベーグ積分可能な関数はすべて超関数の意味で微分可能だと思うのですが
従って連続な関数はリーマン積分可能な関数だから超関数の意味ですべて微分可能だと思うのですがどうでしょうか？
ハイパーファンクションのほうが評判がいいのですが不勉強なもので全くかじっていません

よろしくお願いします

補足

たとえ連続でも微分できない点がありうるので確率密度関数を分布関数の導関数として定義しないのです：

超関数を導入すると離散分布と連続分布が統一的に議論できるので便利だと思うのですが確率論ではそのような試みはなされていないのですか？
こんな便利なものを導入しない理由を教えてください
通信理論や制御理論は関数の範囲を超関数の範囲に広げなければ大変な労力を必要とするので超関数が早くから導入されています
超関数は普通の不連続関数は不連続点で微分できますが連続関数で微分できない関数の例を教えてください

よろしくお願いします

回答No.1

UmenoMiyako

えっと。

連続変数のことを考えていらっしゃるから、
微分できないのがおかしいとおもうわけですよね？

分離変数上で定義されている確率分布関数なんかは、
微分できないですよね。
いわゆる離散的確率変数というやつですよね。

たとえば、
　二項分布
　ポアソン分布
　超幾何分布

などでしょうか。

お礼

例えばポアソン分布の確率分布関数は
Ｆ（ｘ）＝Σ（０≦ｎ＜∞）・ｅｘｐ（－λ）・λ＾ｎ／ｎ！・ｈ（ｘ－ｎ）
であるから微分して確率密度関数を求めると
ｆ（ｘ）＝Σ（０≦ｎ＜∞）・ｅｘｐ（－λ）・λ＾ｎ／ｎ！・δ（ｘ－ｎ）
となるのではないでしょうか？

補足

例えばポアソン分布の確率密度関数は
ｆ（ｘ）＝Σ（０≦ｎ＜∞）・ｅｘｐ（－λ）・λ＾ｎ／ｎ！・δ（ｘ－ｎ）
となるのではないでしょうか？