• ベストアンサー

確率密度関数f(x)の積分を示す関数の名称

関数をどのように呼べばいいのか分からなくて困っています。 確率密度関数f(x)の[-∞≦X≦z]の範囲の積分を表す関数F(z)を次のように呼ぶのは正しいのでしょうか。 (1)累積分布関数 (2)累積確率関数 (3)累積密度関数 素人の質問ですみません。よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • adinat
  • ベストアンサー率64% (269/414)
回答No.3

aを定数とするのであれば、確率密度関数f(x)の[-∞≦x(小文字にしてください)≦a]の範囲の積分は、“密度関数f(x)を持つ確率変数Xがaより小さくなる確率”、というのがもっとも正確な言い方です。あるいは同じことですが“分布関数のaでの値”です。あるいは“-∞からaまでの累積密度”といってもいいかも知れない。 意味をよく考えて、これは使い方が変じゃないからという理由で、あまり一般的でない呼び方をするのはよいとは思いません。なるべく一般的な呼び方にならって使うのがいいと思います。それにわざわざ名前をつける必要に迫られることもあまり多くないと思います。積分論を経ずに確率論をやる人も多いので、その辺りの文化交流がうまくいっていないのかも知れないですが、“分布”と“分布関数”は表そうとしているものは同じだけれど、まったく別物である、ということだけはよく覚えておいていただきたいと思います。積分論で言うところの、“測度”と“単調増加関数”に対応するものだからです。これらが互いに1対1に対応することはそれほど難しい事実ではないですが。ただ、いろいろな文脈に応じて異なる用語の使い方をしていることは本当に多いので、その辺りは肝要な心をもって、前後文脈から何を意味しているのかを汲み取ってあげるのがよいと思います。その上で、実際にご自身で使われるときは、“分布関数”に統一されては、と僕は思います。 いずれにしても、(2)の分布と呼ぶのだけは、完全に別物を指しているので避けるべきだと思います。

yoohoo_7
質問者

お礼

ご懇切なご回答を頂き、御礼の申し上げようもありません。 (2)は、「分布関数」が示す値なので「分布」と言うことができるのかなと思って作った私の造語です。でも、素人目にも変な感じのする言葉です。また、別の定義のある言葉とのご指摘なので、これは不適当とよく分かりました。お手数をかけて申し訳ありませんでした。 (3)は、前回のご教示から不適当とは思いましたが、御確認を賜った次第です。 (4)、(5)は、文献によってはこのように言っておられる方もお見えのようですので、ご教示をお願いしました。 ご教示いただいた内容は、自分ではよく理解できたと思っております。 私のような素人の門外漢に誠にご懇切かつ明快なご教示をいただき、誠に有り難く、心より厚く御礼申し上げます。有り難うございました。

その他の回答 (2)

  • adinat
  • ベストアンサー率64% (269/414)
回答No.2

やや用語の統一がなされていない感じもあるのですが、単に“分布関数”と呼んで間違いありません。あるいは密度関数を積分(累積)したものという意味から、“累積密度関数”と呼んでも誤解はないでしょう。 また離散分布の場合、(確率)密度関数に対応するものを確率関数といいます。たとえば平均値λのポアソン分布の確率関数はP(x)=e^{-λx}λ^x/x!といった感じです。ただしxは非負の整数です。これを-∞からzまで積分(実際には有限和)したものを同様に“分布関数”といいます。同じ理由から“累積確率関数”と呼んでも誤解はないでしょう。 問題なのは(1)の“累積分布関数”という呼び方で、この累積という用語がやや難しいです。僕はこの呼び方はあまり好まないのですが、確率論では“累積分布関数”の代わりに“分布”(distribution)という確率測度を用いることがよくあります。この意味で、-∞からzまでをその分布測度で測ったものという感覚で、“累積分布”と呼ぶのでしょう。これはzの関数であるから、“累積分布関数”というわけです。しかしながら、最初にも述べたとおり、“分布関数”ですでに、密度関数を累積したという意味を含んで定義されているので、わざわざ累積とつける必要はないとは思います。個人的には(1)で呼ぶぐらいなら、関数をつけずに、“累積分布”と呼んで欲しいですね。いずれにしても(1)~(3)のどれも実際には使われているように思います。そしてすべて同じものをさしています。言葉の乱用です。なおこれも最初に述べたとおり、(2)は離散分布、(3)は連続分布に対して使い分けているものです。

yoohoo_7
質問者

補足

複雑ですね。でも、理論的にそのように呼ぶことが正しくない場合を除いては、いろいろの呼び方が可能ということなんですね。ただ、そのうちでもより分かりやすいというかより良い名称があるということでしょうか。そういうことへの命名者の思いが込められているんですね。たいへんよく分かりました。有り難うございました。 申し訳ありませんが、後1つお教えいただけないでしょうか。 aを定数とするとき、確率密度関数f(x)の[-∞≦X≦a]の範囲の積分を次のように呼ぶのは正しいのでしょうか。 (1)確率 (2)分布 (3)累積分布 (4)累積確率 (5)累積密度 (1)は正しいと思います。(2)は正しいようにも思うのですが、簡単すぎて意味が伝わりにくいような感じもします。(3)はご教示の内容から見て用いない方がよい言い方ではないかと思います。(4)はご教示の内容から見て正しくないと思います。(5)は可能かと思います。 しかし、自信がありません。 よろしくお願いします。

  • rabbit_cat
  • ベストアンサー率40% (829/2062)
回答No.1

Cummulative Distribution Function の訳語ですから、(1)が正しいです。

yoohoo_7
質問者

お礼

そうなんですね。 長い間分からなくて混乱していました。やっとすっきりしました。 今後ともよろしくお願いいたします。 有り難うございました。

関連するQ&A

  • 確率密度関数

    私は確率は高校までの知識しかありません。 なので、積分の形になってたりすると さっぱりなのです。 2種類の棒材A、Bがありその長さxの確率密度関数は それぞれf(x)、g(x)、累積密度関数は F(x)、G(x)、である。A,Bの長さの和がl以上になる確率はいくらかという問題に対して まず 単語の意味が分からない(読んでも) イメージがわかない 立式できないと こういう状況なのです。教えてください。

  • 確率密度関数

    閉区間[ 0 , 4 ] 上の値のみをとる確率変数X が,確率密度関数f(t) = −at2(tの2乗)+ 4at ( 0 ≤ t ≤ 4 ) ( a : 定数) を持つものとする.この時,次の各問に答えよ. (1) 定数a の値を求めよ. (2) X の期待値E(X) の値を求めよ. (3) X の累積分布関数F(x) ( 0 ≤ x ≤ 4 ) を求めよ. という問題なのですが、(1)がわからず、先に進めなくなってしまいました。f(t)を微分したりして求めるのかなとは思ったのですが・・・。どなたか求め方を教えていただけないでしょうか?また、(2)、(3)についても解き方を教えていただけないでしょうか?どうかよろしくお願いします。

  • 次の確率密度関数を持つ分布の名前を教えてください

    x>0の半無限区間で定義された確率密度関数: f(x)=(θ/(2πx^3))^(1/2)exp[-(θ/(2x))*((x-μ)/μ)^2] ただし、θ、μは正のパラメータ を持つ確率分布の名前はありますか?あるなら教えてください。 Levy分布に似ているのかと思いましたが、ちょっと違うようです。 ちなみに密度になることは下の方法で気合で解けました: (1)I=∫_0^∞f(x)dxとおいて、x→μyと置換する (2)(1)の積分をさらにy→1/zと置換すると、最初のy^3の項がzに置き換わった式を得る (3) (2)の置換前のIと置換後のIを足して2で割る (4) (3)の式でy^(1/2)-(1/y)^(1/2)→wと置換すると平均0、分散μ/θの正規分布の密度関数の積分になる 以上より、確かにI=1なので確率密度関数になっている。

  • ワイブル分布の確率密度関数と累積分布と関係

    初歩的な質問で申し訳ないのですが、どうしてもわからないので 質問させていただきました。 ワイブル分布で、故障率をプロットしたいのですが、 このときエクセルのワイブル関数で確率密度関数と累積分布をプロットすると、 以下のような数字になります x 累積分布関数       x 確率密度関数 0 0.0%       0 0.0% 0.3 0.1%      0.3 0.7% 0.6 0.8%      0.6 5.4% 0.9 4.0%      0.9 17.5% 1.2 12.2%      1.2 37.9% 1.5 27.1%      1.5 61.5% 1.8 48.1%      1.8 75.7% 2.1 70.3%      2.1 68.7% 2.4 87.4%      2.4 43.5% 2.7 96.4%      2.7 17.8% 3 99.4%       3 4.3% 3.3 99.9%      3.3 0.5% 3.6 100.0%      3.6 0.0% 確率密度関数の値を累積したものが累積分布になると思っていたのですが、 累積分布の値はそのような数字になりません。 確率密度関数の値を累積したものが累積分布にならないのはなぜでしょうか。 それぞれの使い方が違うのでしょうか。 そうであれば故障率としてはどちらを使えばいいのでしょうか。 本当に初歩的な質問で申し訳ございませんが、ご教授いただきたくお願い申し上げます。

  • 確率関数の問題がわかりません

    Xは(連続型)確率関数で、その確率密度関数はf(x)={ax^x (x>=0),0 (その他) で与えられている。 次を求めよ。(1)a  (2)平均μ (3)分散δ^2 (4)累積分布関数F(x) よろしくお願いします。

  • 確率密度関数からの期待値の求め方

    (たぶん?) 統計学の問題です。 xが(0≦x≦1)で一様に分布しているときの期待値E(x)の求め方を教えてください。 解説では、 確率密度関数f(x)=1(0≦x≦1) E(x)=∫[1,0]x・f(x)dx =∫[1,0]1・xdx =[(x^2)/2][1,0]=1/2 ([1,0]は∫の上に1がついて、下に0がついていました) となっていたのですが、わたしは高校数学をやってこなかったので、解説を読んでもちんぷんかんぷんなんです…。 とくに確率密度関数が1となっている理由と、積分のやり方を教えていただけないでしょうか。

  • 確率密度関数について

    次の確率密度関数について以下の問いに答えよ。 f(x) = (1/2) * e^(-|x|)   (-∞ < x < ∞) (1) この分布の分布関数を求めよ。 (2) この分布の平均を求めよ。 (3) この分布の分散を求めよ。 という問題が解けなくて困っています。 e^(-|x|)は、eのマイナス絶対値x乗という意味です。 (1)すら解けません。絶対値が入っていて、もうわけが分かんないです。 どなたかこの問題が解ける方いらっしゃらないでしょうか?

  • 確率密度関数3

    統計の授業で出た課題がわからないので教えてください。 確率密度関数f(x)を-∞からtの範囲で積分したものをF(x)とするとき、F(x)はP(x≦t)のとき右連続になることを証明しろというものなのですが、連続の証明なのでεーδを使わなくてはいけないことはわかるのですが、そこからは何も進みません。 力をかしてください。よろしくおねがいします。

  • 確率密度関数の縦軸Y

    まず、確率分布表があって、X軸に離散的な数値が並んでいます。 つぎに、X軸が連続的な形の確率密度関数があります。この関数の曲線とX軸との間に挟まれる部分の面積が、確率Pであると本に書いてあります。この場合、曲線なので、面積の求め方は、積分を使うようです。 ところで、確率密度関数の縦軸Yは、この場合、何でしょうか? 横軸X軸は、確率をもって現れる変数(確率変数)であるようですが、縦軸って何でしょう? 統計ど素人

  • 確率変数、分布関数と密度関数について

    独学で統計学を勉強していますが、解法がわからず煮詰まってしまい、困っている問題がありますので、質問させていただきます。 確率変数XがX~U[0,1]のとき (1)確率変数Z=5Xの分布関数、密度関数を求めよ。 (2)確率変数Y=X^2の分布関数を求めよ。 よろしくお願いいたします。