(5√2+7)2ｎ+1乗（2n+1）までがべき乗！の整数部Ａ少数部をａとし(Ａ+ａ)ａの値？

質問

友人から以下のような謎のメールが届きました。
これは今はやってるチェーンメールか何かなんでしょうか？？
一見数学の問題のように見えますが、実は解の存在しない
タチの悪いイタズラ出題のような気もします。
数学に詳しい方、答えが出なくともヒントだけでも結構ですので
何かありましたら、教えて下さい。

↓そのままメール本文をコピーして貼り付けました。

>ムスメハアズカッタ、返して欲しければ次の問題をとけ！
>ｎを負でない整数として
>(5√2+7)2ｎ+1乗（2n+1）までがべき乗！
>の整数部分Ａ少数部分をａとするとき
>(Ａ+ａ)ａの値を求めよ！

回答No.2

yoikagari · ベストアンサー

ここにも投稿していたんですか？
「
aのm乗はa^mと表記します。
ですから、(5√2+7)＾(2ｎ+1)と書いた方がわかりやすいですね。

二項定理を用いて(7+5√2)＾(2ｎ+1)+(7-5√2)＾(2ｎ+1)を計算すると
(7+5√2)＾(2ｎ+1)+(7-5√2)＾(2ｎ+1)
=7^(2n+1)+・・・+[(2n+1)!/{(2i)!(2n+1-2i)!}]*7＾(2n+1-i)*50^i+・・・+(2n+1)*7*(50)^n
となりますから
(7+5√2)＾(2ｎ+1)+(7-5√2)＾(2ｎ+1)は整数です
しかも、-1＜7-5√2=√49-√50＜0ですから、-1＜(7-5√2)＾(2ｎ+1)＜0です。
よって
(7+5√2)＾(2ｎ+1)+(7-5√2)＾(2ｎ+1)＜(7+5√2)＾(2ｎ+1)＜(7+5√2)＾(2ｎ+1)+(7-5√2)＾(2ｎ+1)+1
が成立します。
よって(7+5√2)＾(2ｎ+1)の整数部はA=(7+5√2)＾(2ｎ+1)+(7-5√2)＾(2ｎ+1)
小数部はa=-(7-5√2)＾(2ｎ+1)となります。

以上より(A+a)a=(7+5√2)＾(2ｎ+1){-(7-5√2)＾(2ｎ+1)}=(-1)(49-50)^(2n+1)=(-1)(-1)=1
となります。
」
よって、(A+a)a=1と求まりました。

回答No.1

rtz

a=(5√2-7)^(2n+1)って言いたいんだと思いますが。
それで結局(A+a)a＝{(5√2+7)*(5√2-7)}^(2n+1)＝1なんだと思いますけど。

うーんどう証明しますかね…。