- ベストアンサー
行列のｎ乗について
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
回答が無いようですのでとりあえず.． 正則行列であれば,とりあえず,実数までは定義可能です.Aが対象の行列で，これには逆行列が存在してA'が逆行列とします. （1） A^0＝A*A'＝E：単位行列 （2）A^（-m）＝（A')＾m （3） これを有理数に展開する.そのためには行列の乗式に対して結合法則や分配法則が必要となります. （*1）A^（n（m））＝A^nm （*2）A^(n(m+k)）＝A^(nm+nk) こうすると,A^(1/n）は（B）^n＝Aとなる行列Bとなります.これから,A^(m/n)は結合法則（*1）からもとまります.これで,有理数に対してA^αを定義できました.これを実数にするには,有理数から実数を構成する方法（デテキントの切断やカントールの区間収縮法など）を用いることで,A^αのαを実数にまで拡張できます. （4）については私の知識では分かりません.
その他の回答 (1)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
まあ, 全部定義できないことはないんですが.... 意味があるかどうかは別. 定義の方法は普通の数に対するものとほぼ同じ. まず, 普通の数のときを思い出すと 指数関数 exp x, 対数関数 log x を使って x^y = exp (y * log x) と定義したわけですが, 同様に行列でも 「指数関数」 exp A, 「対数関数」 log A を使って A^x = exp (x * log A) と定義します. ここで, 指数関数や対数関数は普通の数に対してマクローリン展開 exp x = 1 + x/1! + x^2/2! + ..., log (1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ... と定義できることを利用し, これをそのまま行列にも拡張します. つまり行列 A に対し exp A = E + A/1! + A^2/2! + ..., log (E + A) = A - A^2/2 + A^3/3 - ... です. もちろん普通の数のときと同様, log が収束するかどうかは別途考える必要があります. このままだと計算がすごく大変なんだけど, スペクトル分解ってのが使えるかもしれません. ちょっと書いたんだけどなんか結果が怪しいので消しちゃいました. 指数関数についてはスペクトル分解で簡単に計算できそうなんだけど, 対数関数が怪しかった. ちなみに行列の指数関数は, 制御の方では普通に出てくる概念です. まあ, あっちだと exp (At) のような形で時間 t を含むんですが.
お礼
指数行列と行列のべき乗がつながっていることに、 ご指摘頂まで気づきませんでした。 とりあえずjavaでの実装は、実用面を考慮して 行列の自然数乗以外はエラーを送出する仕様にしました。 ありがとうございました。
関連するQ&A
- ０の０乗は１、にしたい（続き）
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html の続きです。 ０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。 でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。 そこで、べき乗（累乗）の定義を ｘ＾０＝１ ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ （ｎは自然数） としてしまえば、０＾０は当然１になります。 ＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。 この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？ なお、常識的には…という話は、遠慮願います。 ＃Wikipediaも変わりますので。 これまでの議論で主張したこと： (1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。 (2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。 (3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外） (4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。 (5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。 (6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。 (7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。 (8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。 たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。 ＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素正方行列の対数
複素正方行列の指数関数は、実数域でのマクローリン展開を単純に拡張して xが実数のとき、 exp(x) = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + ... より、Aが複素正方行列のとき （Eは単位行列） exp(A) = E + A + A^2/2 + A^3/6 + A^4/24 + ... と、できることがわかりました。 一方、対数関数に関しても同様に、 xが実数のとき、 log(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 - x^6/6 + ... より、Aが複素正方行列のとき （Eは単位行列） log(E+A) = E - A^2/2 + A^3/3 - A^4/4 + A^5/5 - A^6/6 + ... で、単純に可能かと思ったのですが違いました。 例えば、具体的に、実数正方行列 { 2, 3 } { 4, 5 } の対数は、 { -0.304+2.195i, 1.302-1.248i } { 1.736-1.664i, 0.997+0.947i } となりますが、前記のように単純にマクローリン展開を拡張した方法では、 実数係数の行列から複素係数が出てくることはありえないことからも、 簡単に間違っていることがわかります。 ということで、複素正方行列のマクローリン展開の方法または、 具体的な計算方法（アルゴリズム）をご存知の方がおられましたら ご教示ください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列の二項定理を使った問題です。
数Cの問題です。 わからなかったので、誰か教えてください。 二項定理の応用です。 (1)二次の正方行列Aが実数αに対し(A－αE）の二乗＝０（零行列）を満たすとき、 任意の自然数ｎに対して Aのｎ+１乗＝（ｎ＋１）αのｎ乗A－ｎαのｎ+１乗E が成り立つことを示せ。 ただし、Eは単位行列、０は零行列である。 (2)A＝（ 3 2 -2 -1）←二次の正方行列 のとき自然数ｎに対してAのｎ乗を求めよ。 ( 3 2 ) ↑ (-2 -1 ) 協力よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 対称行列とその対角化行列
対称行列とその対角化行列 行列要素が複素数である行列Aが(A^T)=A（Tは転置）を満たすなら，Aは対称行列といいますか？（ネットで見る限りではA^T=Aなどという場合，行列要素は実数である場合が多いようなのですが．） 実対称行列は直交行列で対角化できて，正規行列はユニタリ行列で対角化できますが，行列要素が複素数でA^T=Aを満たすような行列はどのような行列で対角化可能なのでしょうか？普通にユニタリ行列でしょうか？それとも，要素が複素数で(U^T)U=I（単位行列）なる行列Uによってできるのでしょうか？ 要素が複素数で(U^T)U=Iなる行列Uに名前はついているのでしょうか？ よろしくおねがいします．
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Mathematicaでの行列計算
MathematicaでN×Nの複素行列 ┌ ┐ | a_11+i*b_11 … a_1N+i*b_1N | A= | | | a_N1+i*b_N1 … a_NN+i*b_NN | └ ┘ などでa_ij、b_ijを実数として Conjugate[A]などを計算するためにはどうしたらよいでしょうか？ Assumptions->{Im[a_11]==0,Im[a_12]==0,Im[a_13]・・・・・}のように単純に一つ一つ定義していくのではなく、a_ij、b_ijをいっぺんに定義する方法があればお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 現在線形代数を勉強しているものです。
現在線形代数を勉強しているものです。 わからないことが出てきましたので質問させていただきました。 xを変数とするベクトル方程式Ax=bについて、 Aはm*nの複素行列、xはn次元、bはm次元複素ベクトルとすると この方程式が解をもつためのAが満たすべき必要十分条件は何でしょうか。 Aやbが実数行列や実数ベクトルであれば rankA = rank(A,b) が必要十分条件ですがこれは複素数の場合でも成立することなのでしょうか。 よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
とりあえずjavaでの実装は、実用面を考慮して 行列の自然数乗以外はエラーを送出する仕様にしました。 ありがとうございました。