デルタ関数をラプラス変換すると何故１になるか？

質問

デルタ関数をラプラス変換すると何故１になるか？
わかり易く説明お願いします。

デルタ関数はｔ＝０の時、∞になり
　　　　　　ｔ≠０の時、０である
のは理解しているのですが、どうもラプラス変換して何故１になるかが分かりません。
そういうものとして丸暗記するべきことなのでしょうか？

回答No.3

guuman · ベストアンサー

実は0になるとはいえないのです

δ関数というのは
例えば
fε(t)=exp(-t^2/2/ε^2)/√(2・π)/ε
のように質のいい関数において
εを0に近づけたときの極限の関数なのです
実際には極限ではなく今考えている問題において十分0に近くすればいいでしょう
fε(t)でなくても質のいい関数ならば代わりの関数を持ってきてもεに相当するパラメータを0近くにすればほぼ同じ結果が得られるのです
シュワルツは形式的に矛盾しないようにδ関数を定義しましたが作為的なので彼の理論には問題があります
この点において佐藤さんの方が人気が有るようです

片側ラプラス変換では積分範囲が0から無限大なので1とするには無理があります
しかし両側ラプラス変換ならば1となるのです
だから片側ラプラス変換を使うのを止めたほうがいいでしょう

∫[-∞,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=1
ですが
∫[0,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=0,1/2,1,?
ですから
もし先のガウシアンを採用した場合は1/2です

回答No.6

alkantala

少々おせっかいな気もしますが、No.5に補足させて頂きます。
（下記の（☆☆）部分で引っかかる人が時々いるものですから）
myaumyauさんがご自分で答えを出されていましたら
以下は参考という事でご覧下さい。

ラプラス変換の定義は
L[f(t)]=∫f(t)exp(-st)dt（積分範囲は０から∞）
ですから、L[f(t)]=F(s) は
（☆）∫f(t)exp(-st)dt = F(s)
のことです。
さて、ラプラス変換の定義から
L[f'(t)]=∫f'(t)exp(-st)dt
ここでjamf0421さん（No.4,5）が書かれているように
f=f(t), g=exp(-st) として右辺に部分積分を用いると
∫f'(t)exp(-st)dt
=[f(t)exp(-st)]_0^∞ - ∫f(t)(exp(-st))'dt
=[f(t)exp(-st)]_0^∞ + s∫f(t)exp(-st)dt
=[f(t)exp(-st)]_0^∞ + sF(s)
=lim_{t→∞}(f(t)exp(-st)) - f(0)exp(0) + sF(s)
=lim_{t→∞}(f(t)exp(-st)) - f(0) + sF(s)
（二行から三行で（☆）を使っています。またexp(0)=1。）
以上の計算から
（☆☆）lim_{t→∞}(f(t)exp(-st)) =0
ならば L[f(t)]=F(s) のときL[f'(t)]=sF(s)-f(0) である事が
示されました。

最後に（☆☆）を証明しておきましょう。
まず上の計算の前提としてf(t)のラプラス変換L[f(t)]が
存在していなければなりません。すなわち広義積分
∫f(t)exp(-st)dt（積分範囲は０から∞）
が（適当なｓの範囲で）存在している事が仮定されています。
もし f(t)exp(-st) が t→∞ のとき０でなければ
広義積分は発散していまいますから（☆☆）でなくてはなりません。
（これも厳密な証明ではありませんが、今回は感じをつかむ
ということで厳密性にはこだわらないことにしました。）

数学的厳密性にこだわるならNo.2のURLにあるように
シュワルツの超関数やら佐藤超関数といった理論を持ち出す
必要がありますが、デルタ関数を計算ツールとして使いたいなら
このくらいの議論で納得して頂けたのではないでしょうか。

お礼

ありがとうございます。
部分積分に関して、理解できました。

回答No.5

jamf0421

（ご質問への回答）
L[f'(t)]=sF(s)-f(0)のことです。
∫f'(t)g(t)dt=f(t)g(t)-∫f(t)g'(t)dt+（積分定数)が、(fg)'=f'g + fg'の両辺を積分すれば容易に導かれます。g(t)をラプラス変換のexponential関数に見立てて当てはめるだけです。

お礼

ありがとうございます。
部分積分に関しては理解できました。

回答No.4

jamf0421

あとの方でURLの提示や詳しいお話もありますが、最初のNo.1さんの証明について質問者がf(t)'のラプラス変換について分からないとおっしゃっている部分だけ補足します。
f'(t)のラプラス変換の式を、部分積分されれば明らかと思います。

補足

「f'(t)のラプラス変換の式」というのは
L[f'(t)]=sF(s)-f(0)　のことですか？

これを部分積分ですか～。
すいません。わかりません。教えて下さい。

回答No.2

sak_sak

参考URLから明らかではないでしょうか?

＞デルタ関数はｔ＝０の時、∞になり
寧ろ私にはこちらの方が理解できないです。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%91%E3%83%AB%E3%82%B9%E9%96%A2%E6%95%B0

回答No.1

alkantala

厳密な説明だとかえって感じがつかみづらいと思いますので、
厳密ではないですが直感的な説明を。
以下、f(t)のラプラス変換をL[f(t)]で表します。

関数 U(t) を t>0 のとき１, t≦0 のとき０である関数とします。
特に U(0)=0 です。
グラフを書くとｔ=0 のところで値が0から1へジャンプする一段の
階段の様な形です。この U(t) をラプラス変換すると 1/s です。
（☆） L[U(t)]=1/s
（これはラプラス変換の定義に従って普通に計算すれば得られます）

さて、一般にf(t)のラプラス変換をF(s)とするとき（L[f(t)]=F(s)）、
f(t)の微分f'(t)のラプラス変換は
L[f'(t)]=sF(s)-f(0)
で計算されます。

これを U(t) について適用すると
L[U'(t)]=s(1/s)-U(0)=1-0=1
ですから
（☆☆）L[U'(t)]=1
が得られました。

U(t)は t=0 で微分不可能ですが、
t>0 または t<0 では定数関数なので
（☆☆☆）U'(t)=0 (t>0 または t<0)
です。t=0 では U(t)は通常の意味では微分不可能ですが、
微分係数は「接線の傾き」というのを考えると
U(t)のようにt=0で値が0から1へジャンプする関数は
「t=0での接線の傾きが+∞」と考えることもできます。
これを認めれば
（☆☆☆☆）U'(0)=+∞
です。（☆☆☆）と（☆☆☆☆）からU'(t)はデルタ関数と
同じものと分ります。
（★）U'(t)=デルタ関数。
（☆☆）と（★）から
L[デルタ関数]=1
です。

この説明でいかがでしょうか？
教科書にはもっとちゃんとした証明が載っているかと思いますが。

補足

ご回答ありがとうございます。

f(t)の微分f'(t)のラプラス変換は
L[f'(t)]=sF(s)-f(0)
で計算されます。

っていうところが良くわかりません。
なぜL[f'(t)]=sF(s)-f(0)
なのかを教えて下さい。

そこが分かれば、すべて解決します。
どうぞ宜しくお願い致します。