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ラプラス変換で・・・

未知関数y=y(t)は0<=tでは値が0で、 y(t)-3y(t-1)=t+1 という関係があるy(t)をラプラス変換で求めたいのですが、どうもよくわかりません。 指数倍の平行移動の性質を使うのかなぁとは思うのですが・・・

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  • mmky
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回答No.1

参考程度まで 未知関数y=y(t)は0≧t(tがゼロより小さい)では値が0で、 y(t)-3y(t-1)=t+1 のラプラス変換ですね。 y(t-1)のラプラス変換が出来れば変換できますね。。 ∫[0→∞]y(t)e^-st dt=Y(s) ∫[0→∞]te^-st dt=1/s^2 ∫[0→∞]y(t-1)e^-st dt= t-1=x と置くとy(t-1)=y(x), dt=dx, t=x+1 =∫[-1→∞]y(x)e^-s(x+1)dx= {e^-s}*{∫[0→∞]+∫[-1→0]}y(x)e^-sx dx ={e^-s}Y(s)+ ∫[0→1]}y(-x)e^sx dx ={e^-s}Y(s) :0≧t, y(t)=0 故: y(t)-3y(t-1)=t+1 →Y(s)-3(e^-s)Y(s)=1/s^2 +1/s Y(s){1-3(e^-s)}=1/s^2 +1/s y(s)={1/{1-3(e^-s)}}{1/s^2 +1/s} 式の解釈があっているかどうかわかりませんが、 y(t-1)であればちょっと逆変換は反転公式を使わないといけないかも。

その他の回答 (1)

  • stomachman
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回答No.2

y(t-1) = y(t)*δ(t-1) (*は畳み込み積分) ですから、 y(t)-3(y(t)*δ(t-1))=t+1 ラプラス変換すると Y(s)-3Y(s)exp(-s)=1/(s^2)+1/s すなわち、 Y(s)=(1+s)/(s^2)/(1-3exp(-s)) と、まあここまでは良いでしょうけど、このあとが面倒ですねえ。分母にある (1-3exp(-s)) というのが、「exponentialに増大するということを除けば、周期性を持つような関数」とでも言うしかないようなヨクワカラン代物を暗示しております。(これが(1-exp(-s))なら、単に周期性を言っているに過ぎない訳ですが。) それで、ラプラス変換のことは忘れてみたらどうでしょうか。つまり方程式 y(t)-3y(t-1)=t+1 を満たすy(t)をとにかく見つけてみようという訳です。 ところがこの方程式はどうも曖昧です。どう解釈すれば良いのでしょう? 方程式がt<0の時でも成り立つ、ということを要求すると、 t≦0のときy(t)=0 であることと両立しません。なぜなら、 y(-10)=0, y(-9)=0 なら y(-9)-3y(-10)=-9+1 となって 0=-8 ですもんね。 だから、 y(t)-3y(t-1)=t+1 はt≧0のときだけ成り立つと考えるべきでしょう。従って、 1>t≧0のとき、y(t)=t+1 でなくてはなりません。(∵y(t-1)=0ですから。) 一方、 y(t)=f(t)+bt+c f(t)=3f(t-1) としてみると、方程式は f(t)+bt+c-3f(t-1)-3b(t-1)-3c=t+1 ゆえに -2bt+3b-2c=t+1 でなくてはならず、よって、 b=-1/2, c=-5/4 と決まります。 これだけだと、f(t)は f(t)=3f(t-1) を満たしさえすれば何でも良い。たとえば f(t)=a(3^t)  (aは任意の定数) なんてのを思いつきます。a=0でも構わない。或いは[t]をtを越えない最大の整数とするとき f(t)=a(3^[t]) でも良い。これは階段状になっています。はたまた f(t)=a(3^[t])sin(2πt) だって構わない訳で、いやいやそれどころか tが有理数のとき、f(t)=(3^[t])sin(2πt) tが無理数のとき、f(t)=-100(3^[t])((sin(100πt))^99) なんてハチャメチャの関数でもアリです。 ところが 1>t≧0のとき、y(t)=t+1 という条件を考慮しますと、f(t)を好き勝手に選ぶ訳には行かなくなります。 1>t≧0のとき、y(t)=f(t)-(1/2)t-5/4=t+1 より 1>t≧0のとき、f(t)=(3/2)t+9/4 でなくてはなりません。そして f(t)=3f(t-1) なのだから t=1のときf(t)は不連続になります。なぜなら t→1のとき(3/2)t+(9/4)→15/4 f(1)=3f(0)=3(9/4)=27/4 ですからね。同様にtが自然数のときf(t)は不連続点を持つことになります。 つまり、 f(t)=(3^[t])((3/2)(t-[t])+9/4) と表されるでしょう。まとめると y(t)=(3^[t])((3/2)(t-[t])+9/4)-(1/2)t-5/4 ということになります。ひえ~ 問題の解釈が合っているかどうかよく分からないから「自信なし」です。

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