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ラプラス変換法について（微分方程式）
Umadaの回答
- Umada
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解き方はnubouさんのおっしゃる通りですので、やや蛇足になりますが私は文章での補足説明をば。 Laplace変換は微分方程式の代数的解法の一つです。ある微分方程式が与えられた場合、それを直接解かずにいったん普通の方程式に変換(Laplace変換)して解き、それを再度変換して関数に戻し解を得ます。これは例えばあるかけ算をする時に、直接掛けずにいったん対数に変換してから足し算を行い、対数表(今は関数電卓でやるでしょうけど)で元に戻して積の真数表示を得るのに似ています。 このほか微分方程式を解く場合に意外と厄介な初期条件の検討を、方程式を解くのと同時に行えてしまうというメリットもあります。 Laplace変換Lは、nubouさんのおっしゃる両側Laplace変換のほかに片側Laplace変換があります。 これは1価関数f(t)があったとき ∞ L[F(x)]=∫F(t) exp(-st) dt 0 などと定義され、F(s)などと表示されます。f(t)を「表関数」、F(s)を「裏関数」などと呼ぶこともあります。 実際にはこの変換を行うことはほとんどなく、代表的な関数(ステップ関数、t^n、三角関数、指数関数など)については変換したものが表(Laplace変換表)として用意されていますので、機械的に置き換えるだけです。 具体的な解き方はnubouさんの回答を参考にされて下さい。まずLaplace変換を行い、これを代数的に処理(部分分数に展開)し、それを逆変換して表関数に戻します。表関数に戻す時もLaplace変換表を用います。 文献はどのようなものを紹介したらよいでしょうか(といっても、勿体をつける程は知らないのですが)。例えば、具体的なLaplace変換のやり方といくつかの例に対しての解法の説明でしたら、大学3,4年程度の微分方程式の参考書をいくつか探せば出てきますよ。 参考URLにはLaplace変換表を付けておきます。
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