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ラプラス変換法について（微分方程式）
nubouの回答
- nubou
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重大なミスが有りましたので報告します （ｈ（ｔ）・ｇ（ｔ））’＝δ（ｔ）・ｇ（ｔ）＋ｈ（ｔ）・ｇ’（ｔ） はいいのですが （ｈ（ｔ）・ｇ（ｔ））”＝（δ（ｔ）・ｇ（ｔ）＋ｈ（ｔ）・ｇ’（ｔ））’ ＝δ’（ｔ）・ｇ（ｔ）＋２・δ（ｔ）・ｇ’（ｔ）＋ｈ（ｔ）・ｇ”（ｔ） は間違いです 正しくは （ｈ（ｔ）・ｇ（ｔ））”＝（δ（ｔ）・ｇ（０）＋ｈ（ｔ）・ｇ’（ｔ））’ ＝δ’（ｔ）・ｇ（０）＋δ（ｔ）・ｇ’（ｔ）＋ｈ（ｔ）・ｇ”（ｔ） ＝δ’（ｔ）・ｇ（０）＋δ（ｔ）・ｇ’（０）＋ｈ（ｔ）・ｇ”（ｔ） です つまり δ（ｔ）・ｇ（ｔ）＝δ（ｔ）・ｇ（０） ですから （δ（ｔ）・ｇ（ｔ））’＝δ’（ｔ）・ｇ（ｔ）＋δ（ｔ）・ｇ’（ｔ） ではなく （δ（ｔ）・ｇ（ｔ））’＝（δ（ｔ）・ｇ（０））’＝δ’（ｔ）・ｇ（０） なのです 以上を元にＮｏ．１を修正します 微分方程式：ｘ”（ｔ）＋ａ・ｘ’（ｔ）＋ｂ・ｘ（ｔ）＝ｇ（ｘ）・・・（１） 初期条件：ｘ（０）＝α，ｘ’（０）＝β を解いてみましょう ｈ（ｔ）・ｘ（ｔ）の両側ラプラス変換をＬ（ｈ（ｔ）・ｘ（ｔ））（ｓ）≡Ｘ（ｓ）とし ｈ（ｔ）・ｇ（ｔ）の両側ラプラス変換をＬ（ｈ（ｔ）・ｇ（ｔ））（ｓ）≡Ｇ（ｓ）とする （ｈ（ｔ）・ｘ（ｔ））’＝δ（ｔ）・ｘ（０）＋ｈ（ｔ）・ｘ’（ｔ） であるから ｓ・Ｌ（ｈ（ｔ）・ｘ（ｔ））＝ｘ（０）＋Ｌ（ｈ（ｔ）・ｘ’（ｔ）） ∴Ｌ（ｈ（ｔ）・ｘ’（ｔ））＝ｓ・Ｘ（ｓ）－α （ｈ（ｔ）・ｘ（ｔ））”＝（δ（ｔ）・ｘ（０）＋ｈ（ｔ）・ｘ’（ｔ））’ ＝δ’（ｔ）・ｘ（０）＋δ（ｔ）・ｘ’（０）＋ｈ（ｔ）・ｘ”（ｔ） であるから ｓ＾２・Ｌ（ｈ（ｔ）・ｘ（ｔ））（ｓ）＝ｓ・ｘ（０）＋ｘ’（０）＋Ｌ（ｈ（ｔ）・ｘ”（ｔ））（ｓ） ∴Ｌ（ｈ（ｔ）・ｘ”（ｔ））（ｓ）＝ｓ＾２・Ｘ（ｓ）－ｓ・α－β （１）式の両辺にｈ（ｔ）をかけて両側ラプラス変換をすると Ｌ（ｈ（ｔ）・ｘ”（ｔ））（ｓ）＋ａ・Ｌ（ｈ（ｔ）・ｘ’（ｔ））（ｓ）＋ｂ・Ｌ（ｈ（ｔ）・ｘ（ｔ））（ｓ） ＝Ｌ（ｈ（ｔ）・ｇ（ｔ））（ｓ） すなわち （ｓ＾２＋ａ・ｓ＋ｂ）・Ｘ（ｓ）＝ｓ・α＋β＋ａ・α＋Ｇ（ｓ） ∴Ｘ（ｓ）≡ （ｓ・α＋β＋ａ・α）／（ｓ＾２＋ａ・ｓ＋ｂ）＋Ｇ（ｓ）／（ｓ＾２＋ａ・ｓ＋ｂ） このあと部分分数展開と両側ラプラス変換表からｘ（ｔ）を求める
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