絶対値つきの2次方程式

質問

こんにちは、宜しくお願いします。
次の2次方程式を解け。
x^2+|x-1|+|x-3|-4=0
指針を読んで、1. x＜1、2. 1≦x≦3、3. 3＜x の3つの場合に分けて考えることがわかりました。

1.の場合、例えばx=0のとき、絶対値の中は両方マイナスになるので、
x^2-(x-1)-(x-3)-4=0となるのはわかります。

3.の場合も例えばx=4のとき、絶対値の中は両方プラスとなるので、
x^2+(x-1)+(x-3)-4=0となり、そのまま絶対値記号を外すのもわかります。

自分のわからないところは2.の場合の答えがx^2+(x-1)-(x-3)-4=0としか書いていないことです。
例えばx=2ならばわかります。でもx=3のとき、|x-3|は|0|となりますよね。絶対値記号の外し方は|a| a≧0のときはそのままはずすわけですから、x^2+(x-1)+(x-3)-4=0の場合もあるのではないかと思いました。

自分の考え方のどこが間違っているのでしょうか？長々と書いて申し訳ありませんが宜しくお願いします。

回答No.3

adaga2324 · ベストアンサー

絶対値の外し方ですが、教科書によると、
ａ≧０の時、|ａ|＝ａ
ａ＜０の時、|ａ|＝－ａ
とあったのでしょう。これを厳格に適用しますと、指針の解説が
間違っているでしょう。条件は絶対値の中の正負で分けますから、
　１．　ｘ－１＜０　かつ　ｘ－３＜０　の時
　２．　ｘ－１≧０　かつ　ｘ－３＜０　の時
　３．　ｘ－１≧０　かつ　ｘ－３≧０　の時
としたいとことです。といたもらえばわかるとおり、２、３の条件
わけで等号の位置が間違っています。

さて、一方、方程式を解くという観点で考えますと、
　０　＝　－０
ですから、｜０｜　＝　－０　としても変わらないですから、方程
式を解いて、条件に当てはまる解を求めるだけであれば、等号の位
置がどちらにあっても同じことといえます。

質問者さんが考えているとおりの条件分けにしたほうがいいと思い
ますが、解等のｘの値は同じことです。

お礼

こんばんは。ご回答ありがとう御座いました。大変よくわかりました。これでぐっすり眠れます。

回答No.2

mukin

>例えばx=2ならばわかります。でもx=3のとき、|x-3|は|0|となりますよね。絶対値記号の外し方は|a| a≧0のときはそのままはずすわけですから、x^2+(x-1)+(x-3)-4=0の場合もあるのではないかと思いました。

x=3なら０なんだからそこに関してだけ絶対値のはずし方が二通りあるのは当たり前です。どっちでもいいのです。しかし

＞x^2+(x-1)+(x-3)-4=0の場合もあるのではないかと思いました
これはあくまでもｘ＝３の場合のみで、
1≦x≦3の場合でx^2+(x-1)+(x-3)-4=0としてしまえば、これは完全な間違いです。x^2+(x-1)-(x-3)-4=0とすればどこにも矛盾はありませんよね？

＞1. x＜1、2. 1≦x≦3、3. 3＜x の3つの場合に分けて考えることがわかりました。

この分け方、別に
ｘ≦１、１＜ｘ＜３、３≦ｘ
ｘ≦１、１＜ｘ≦３、３＜ｘ
ｘ＜１、１≦ｘ＜３、３≦ｘ

とわけたっていいのです。範囲を切るときに気をつけるのは、全部かぶることなくカバーすることだけです。

たとえば、ｘ＜１、１＜ｘ＜３、３≦ｘ
この分け方は記述式試験だと減点です。ｘ＝１の場合はどうなってるんだ！？ということになるからです

つまり、絶対値の問題では、符号の変化ポイントで範囲をかぶったりふそくしたりしないように分けて、あとは絶対値はずすだけです。

お礼

ありがとうございました。よくわかりました。すべての範囲を網羅すればイコールはどこにつけてもいいのですね。

回答No.1

mister_moonlight

＞指針を読んで、1. x＜1、2. 1≦x≦3、3. 3＜x の3つの場合に分けて考えることがわかりました。

等号はどれに付けても良いんですが、分かりにくければ
1. x≦1、2. 1＜x＜3、3. 3≦x 　　。。。。と考えたらどうですか。

お礼

ありがとうございました。よくわかりました。すべての範囲を網羅すればイコールはどこにつけてもいいのですね。