絶対値の付いた一次方程式の問題

質問

|1-2x|=3x-4

上の問題を解く際なんですけど、参考書によるとこういう問題は絶対値の中がマイナスの場合とプラスの場合にわけて考えると書いてあります。
それはわかるのですが、参考書にはどういうわけか、まず始めに
|1-2x|=3x-4 → |2x-1|=3x-4　　
という計算がしてあります。
どうして最初にこのように変える必要があるのかが理解できません。そのまま普通に計算したらダメなんでしょうか。どういう場合に上のようなやり方を最初にする必要があるのでしょうか。

回答No.2

x_jouet_x · ベストアンサー

数値の絶対値(例: |-5|)は簡単に分かりますよね。

例えば、
|5| = 5
|-5| = 5
になりますが、これは言い換えれば絶対値の記号を外すとき、

・絶対値の中が正ならばそのまま
・絶対値の中が負ならば、-(絶対値の中)

ということをしています。

つまり、
|-5| = -(-5) = 5
という計算をしていることになります。

この考え方を |1-2x| に当てはめてみると、

・1-2x > 0 つまり、x < 1/2のときはそのまま絶対値の記号を外せるから、
|1-2x| = 1-2x

・1-2x < 0 つまり、x > 1/2のときは、-(絶対値の中)にしなければいけないから、
|1-2x| = -(1-2x) = 2x-1

になります。

補足

念のため確認させてください。私の式と参考書の式が結構違くて混乱してます。

私の計算：
|1-2x|=3x-4 において絶対値の中がプラスと考えた場合↓
|1-2x|≧0 → 1-2x≧0 → -2x≧-1 → x≦二分の一
|1-2x|=3x-4 → 1-2x=3x-4 → x=1
絶対値の中がプラスと考えた場合、x=1はx≦二分の一の条件に当てはまらないので答えはなし。

今度は絶対値の中がマイナスと考えた場合↓
|1-2x|<0 → 1-2x<0 → -2x<-1 → x>二分の一
|1-2x|=3x-4 → -(1-2x)=3x-4 → -1+2x=3x-4 → -x=-3 → x=3
絶対値の中がマイナスと考えた場合、x=3はx>二分の一の条件に当てはまるため、答えとなって成立する。
ゆえに、この問題の答えは絶対値の中がマイナスと考えた場合の答えx=3。

参考書の計算：
|1-2x|=3x-4より、|2x-1|=3x-4

(1) 2x-1≧0、すなわち x≧二分の一　のとき、
|2x-1|=3x-4 → 2x-1=3x-4 → x=3
これはx≧二分の一を満たす。

(2)2x-1<0、すなわち　x<二分の一　のとき、
|2x-1|=3x-4 → -2x+1=3x-4 → x=1
これはx<二分の一をみたさない。よって不適。
解はx=3のみとなる。

　以上が私の計算と参考書の計算の比較です。一応、答えは合ってる？と思うんですけど、計算が結構違ってて、私の答えがまぐれで正解なのかどうかもわかりません。特に違う部分は、絶対値の中がプラスと考えた場合、私の場合はx≦二分の一でなければいけないという条件になりましたが、参考書の場合不等号の向きが逆でx≧二分の一になってます。絶対値の中がマイナスの場合も同様です。一応回答が同じなのでこの部分はこれでいいのでしょうか。

回答No.7

mister_moonlight

＞どのように利用するのでしょうか。

だから、既に書き込んでるだろう。

|1-2x|＝3x-4　は、3x-4≧0、and、（1-2x）＾2＝（3x-4）＾2　と同値。
（1-2x+3x-4）*（1-2x-3x+4）＝0　→　（x-3）*（x-1）＝0
3x-4≧0　より、x＝3.

補足

へーこんなやり方もあるんですねー
ありがとうございました。
また機会があったらよろしくお願いします！

回答No.6

mister_moonlight

＞（1-2x）＾2　の＾2ってなんですか？

2乗の事、ここではそのように表している。

補足

両辺を二乗する計算方法もあるんですか？初耳です。
どのように利用するのでしょうか。

回答No.5

x_jouet_x

回答#2の者です。

LM51さんが補足で書かれた計算で合っていますよ。
参考書の中で、「|1-2x|=3x-4より、|2x-1|=3x-4」としているのは多分、1-2x>0の不等式の計算よりも、2x-1>0の不等式の計算の方がミスが少ないからそうしているのでは・・・と思います。

もちろん、|1-2x|=3x-4と|2x-1|=3x-4のどちらで計算しても答えは同じです。

補足

おおおおおっとありがとうございます！！！
やっと頭を悩ませてた疑問が解決できました。

回答No.4

mister_moonlight

書き込みミス。

（誤）|1-2x|＝3x-4　は、3x-4≧0、and、1-2x＝（3x-4）＾2　と同値。
（正）|1-2x|＝3x-4　は、3x-4≧0、and、（1-2x）＾2＝（3x-4）＾2　と同値。

補足

すいませんちょっとよくわからないです！
（1-2x）＾2　の＾2ってなんですか？

回答No.3

mister_moonlight

＞そのまま普通に計算したらダメなんでしょうか。

一向に構わないよ。

|1-2x|＝3x-4　は、3x-4≧0、and、1-2x＝（3x-4）＾2　と同値。
こうすると、場合分けの必要がない。

回答No.1

f272

最初にこのように変える必要はありません。もちろん変えてもかまいませんが...
参考書を書いた人がこのようにする方が分かりやすかったからでしょう。

補足

え？そうだったんですか！？