２つの円の共通外接線の線分を求める公式は？

質問

点(x1, y1)を中心とする半径Lの円と、点(x2, y2)を中心とする半径Sの円の間で引くことのできる、共通外接線の１次式（y = ax + b）を求める公式を知りたいのです。おそらく高校数学の参考書に載っているレベルだろうとは思うので、ご存じの方がおられましたらご教示願います。

　なお、計算式はコンピュータプログラムで使う（つまり学習目的ではない）ため、面倒であれば解く課程は省略していただいても構いません。

回答No.4

mister_moonlight

＞両辺を２乗すれば絶対値は外れますよね？

それをやると計算が大変だから

＞＞まず絶対値をはずすことです。
＞＞そして、絶対値をはずすのには“学生や受験生”程度の知識は必要です。

とアドバイスしたんですが。。。。。。

共通外接線なので、直線に対して2つの円は同じ方向(上、又は、下)のどちらか一方にある。
従って、絶対値は(1)と(2)も同じ符号になるから、k＝√(a＾2＋1)とすると
kＬ＝ax1 + b-y1　と　kＳ＝ax2 + b-y2　を連立して解くだけです。

ですから、簡単な連立方程式に帰着するわけです。

回答No.3

mister_moonlight

＞私は学生でもなければ受験生でもないため、無理して過程を学ぶ必要がないため、その解いた後の答えを教えてくださいませんか。

結果だけを求めるのであれば、回答は止めます。他の人の回答を待ってください。

結果は過程の産物です。
学生でも受験生でもなくて構いませんが、解くには“学生や受験生”程度の知識は必要です。
貴方がどのように計算したのかは分かりませんが、まず絶対値をはずすことです。
そして、絶対値をはずすのには“学生や受験生”程度の知識は必要です。
それが出来れば、簡単な連立方程式です。

補足

両辺を２乗すれば絶対値は外れますよね？

これを解いてみると

a=-(bx1-x1y1)±√(((bx1-x1y1)^2)-(x1^2-L^2)(y1^2-2by1))
b=(L^2(a^2+1)-a^2x1^2-2ax1y1+y1^2)/(2ax1-2y1)

このaの式にbを代入して……式としては簡単かもしれませんが、これを解くのは少し難しいような気がします。

回答No.2

adinat

たぶん一番簡単だと思われる方法は、共通外接線って二本引けるんですが、その交点を調べる方法なんですね。実は二つの円の半径が等しくない限り（等しい場合は二円の中心を結ぶ線分に平行な直線が共通外接線になります）、共通外接線は二円の中心を半径の比に外分する点で必ず交わります。同様に、共通内接線は必ず二円の中心を半径の比に内分する点で交わります。こういった事実を知っていると次のように解くことができます。

二円の中心を半径の比に外分する点を求める。その点を通る直線の式を傾きmとおいて出しておく。点と直線の距離の公式を使って、いま求めたmの入った直線と円の中心との距離が、円の半径と等しくなるようにmを求める（どちらの円でやってもよいです）。そうするとおしまい。最後のところは、判別式＝0とやってもよいですが、♯1さまも書かれている通り、円と直線が接する条件は点と直線の距離の公式を使うのが受験生の常道です。でもコンピュータに解かすなら判別式でもどちらでもよいとはおもいますけれど。

お礼

的外れの補足、失礼いたしました。どうもこちらの勝手な勘違いのようでした。
adinatさんの言いたいことはおそらくこのサイトで述べていたことなのだと思います。
http://cdyjapan.hp.infoseek.co.jp/famous/const006.html
もう少し式の求め方を勉強してから改めて追記したいと思います。申し訳ありませんでした。

補足

> その点を通る直線の式を傾きmとおいて出しておく
２つの円の中心座標を(Xs, Ys),(Xl, Yl)とするとm=(Ys - Yl)/(Xs - Xl)であることまではわかるのですが、その後に来る

> 円の半径と等しくなるようにmを求める
でもう一度mを求めるというのがよくわかりませんでした。

２つの円の中心を通り、その半径の比に外分する点を通るのが傾きmの直線なのだとしたら、その直線は円の中心を通っている、つまり、円の中心との距離は常に０となり、円の半径と等しくなることはないと思うのですが。

回答No.1

mister_moonlight

考え方は、「y軸上に並んだ２つの円（うちひとつは原点中心）の場合の共通外接円の線分方程式を紹介したサイト」と同じです。
但し、判別式を使うと大変ですので、ヘッセの公式(点と直線との距離の公式)を使うと良いと思います。

円Ａ：(x-x1)＾2＋(y-y1)＾2＝(Ｌ)＾2、円Ｂ：(x-x2)＾2＋(y-y2)＾2＝(Ｓ)＾2とする。
円Ａの中心(x1、y1)から直線y = ax + bまでの距離がＬに等しい。従って、Ｌ＝｜ax1 + b-y1｜/√(a＾2＋1)‥‥(1).
同様に、円Ｂの中心(x2、y2)から直線y = ax + bまでの距離がＳに等しい。従って、Ｓ＝｜ax2 + b-y2｜/√(a＾2＋1)‥‥(2)

後は、(1)と(2)を連立して　aとbについて解くだけです。

ヘッセの公式が分からなければ、検索してでも調べてください。

補足

aとbを解こうと紙と鉛筆を使って試みたのですが、式が複雑になりすぎて最後までたどり着くことができませんでした。

私は学生でもなければ受験生でもないため、無理して過程を学ぶ必要がないため、その解いた後の答えを教えてくださいませんか。