統計助けてください。。。

質問

確率分布関数F(x)=P(X≦x)はx1,x2⇒F(x1)≦F(x2)　　の証明がさっぱりわかりません。助けてください。。。

回答No.3

UmenoMiyako · ベストアンサー

確率分布関数はnon-decreasing（非低減）という性質を証明するということなのでしょうね。自明のようですが。

まず、言葉で説明してみます。

つまり、
F(X)＝（積分記号）ｆ（X)ｄｘ　ですよね？
（確率分布関数が連続変数の範囲で定義される場合。）分離変数の場合は和ですよね。F(x)＝（和の記号）ｆ（ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　（１)　　　　　　　　　　　　　
つまり　関数が定義されている範囲の事象がおきる確率を合計するということですよね。　
具体的な例でいうと、
たとえば、さいころを振って、１が出る確率は６分の１としましょう。
２～６が出る確率もそれぞれ６分の１です。
この場合の分布関数は、
F(1)=ｆ（１）＝1/6
F(2)=f(1)+f(2) = 1/6 +1/6 = 2/6 =1/3
F(3)= f(1)+f(2)+f(3) = 1/2
F(4)= f(1)+f(2)+f(3)+f(4) = 2/3
F(5) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=5/6
F(6) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 1　ですよね。

この場合分離変数の話をしているわけですが。

確率はマイナスにはならないので、非負ですよね。
つまり、先ほどの例で言えば、
f(1)=f(2) = f(3)=f(4)=f(5)=f(6)>=　０ (ゼロと等しい、もしくはゼロよりも大きい。）

さて、ここで、問題に戻ってみましょう。
F(X1)は０から、（定義されている範囲がわかりませんがとりあえず、０としましょう）X1 まで、Xというイベントが起こる確率を合計したものです。
つまり、X２はX1より大きいということは
起こりうる事象の数が、０からX1よりも、０からX2のほうが、ｘ２－ｘ１の分だけ多くなると考えられます。

たとえ、ｘ１からｘ２までに存在する事象が起こる確率が、どれも０だとしても、
０より小さい確率をことはない（先ほど述べた確率の非負という性質を用いて）
ですよね。
ですから、
０からｘ２までの事象が起こる確率を合計したとき、
０からｘ１までの事象が起こる確率を合計したときより小さくなることはないですよね。
というのが証明の筋だと思います。

つまり、
F(x)= F(X)＝（積分記号）ｆ（X)ｄｘ　もしくは（F(x)＝（和の記号）ｆ（ｘ）
である。
f(x) >= 0 for any x that belongs to X (関数が定義されている範囲）
x1 < x2 より、

F(x2)>= F(x1)
こんなのではだめでしょうか。

回答No.2

mozniac

F(x)=P(X≦x)≧0のハズですよね。
x1<x2⇒F(x1)≦F(x2)って、当たり前なんじゃないですか？

回答No.1

UmenoMiyako

こんにちは。
X1 と　X2 に関して、
なにか条件ありませんか？

このままだと問題の趣旨がよくわからないのですが。

補足

ごめんなさい。打ち間違いでした。
確率分布関数F(x)=P(X≦x)は、x1<x2⇒F(x1)≦F(x2)となることを示せと　いう問題です。宜しくお願いいたします。