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統計学：一様分布の問題
- 統計学の問題で、一様分布に関する質問です。
- 区間[0 1]からランダムに点Xを選び、さらに区間[X 1]からランダムに点Yを選ぶ場合、E(Y)を求めたいです。
- 分布関数を求める方法について悩んでおり、ヒントやアドバイスをいただけませんか？
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分布関数の導出はilnmfayさんのやり方で正しいと思いますよ。 そのまま計算を続ければいいです。 P(Y≦y) = ∫P(x1≦X≦x1+dx1) * P(X≦Y≦y | X=x1) = ∫P(X≦Y≦y | X=X1) dx1 ですね。 P(X≦Y≦y | X=X1) は、X=X1のときにX≦Y≦yとなる条件付確率です。 で、Xは、[0,1]で一様分布ですから、 P(x1≦X≦x1+dx1) = dx1 です。
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- dedenden
- ベストアンサー率52% (9/17)
> 実際のところ 直感的に p(y,x)=p(y|x)p(x) が受け入れにくいという > か、確率変数なら P(X ∧ Y) = P(Y|X) * P(X) というのはすんなり受 > け入れられるのですが、密度関数でも同じように…と考えると 頭が混 > 乱してきます。 どこをどう混乱されているかわからないので、適切に答えられるかわかり ませんが、以下に、私なりのやや直感的な説明を書きます。（数学の教科 書にはもっと厳密な定義が書かれていると思います。。。） まず、確率密度関数か確率変数かの対比ではなくて、離散分布か連続分 布かの対比になると思います。なぜなら、連続分布の場合も、x, y は 確率変数と呼びます。 連続分布の場合は、微小区間に分けて考えると、離散分布と同じ直感 で考えることができます。これによって、確率密度ではなくて、確率 としてみることができるからです。この場合、上記のベイズの定理は 以下のように書くことができるでしょう。 p(x,y)dxdy=p(x|y)p(y)dxdy 上式は、(x,y)が微小区間(dx,dy)に入る確率をあらわしています。離 散状態の場合にベン図を使って直感的に理解したのと同じように、 x が dx に入る／入らない, y が dy に入る／入らないという二つの 確率事象に関して、ベン図を書くことが出来て、上記の関係を直感的 に理解することが出来るでしょう。 実際には、微小区間ではなくて、上式をある範囲に関して積分を取っ たものが、連続分布における確率となります。積分範囲に含まれる各 微小区間で上式の関係が成り立っているので、それを単純に加算（=積 分）したものにも等式が成立するのは明らかです。 確率密度関数は、連続分布を表す数学的な便宜上の道具であって、そ れ自身は確率ではありません。直感的な理解のためには、上記のよう に、確率に変換して考える必要があります。（確率分布はそのひとつ です。）
お礼
親切に回答していただいてありがとうございます。 少しずつ 密度関数の扱い方も理解してきた気がします。 私のために時間を割いてくださり大変ありがとうございました。
- dedenden
- ベストアンサー率52% (9/17)
まず、確率密度関数を小文字のpを使って、p(x) などと書きます。 すると、E(Y) は以下のように書き換えられます。 E(Y)=∫(0->1)yp(y)dy =∫(0->1)y∫(0->1)p(y,x)dxdy =∫(0->1)y∫(0->1)p(y|x)p(x)dxdy 次に、x は [0,1] の一様分布なので、p(x)=1 一方、p(y|x)=1/(1-x) for 0≦x≦y および p(y|x)=0 for y＜x≦1 したがって、上式は以下のように展開できます。 E(Y)=∫(0->1)y∫(0->y)1/(1-x)dxdy =∫(0->1)y(-log(1-y))dy =[(1-y)(1+y)log(1-y)/2+(1+y)^2/4](0->1) =3/4
お礼
回答ありがとうございます。 E(Y)の値を導くまでの過程がとてもわかりやすく助かりました。 実際のところ 直感的に p(y,x)=p(y|x)p(x) が受け入れにくいというか、 確率変数なら P(X ∧ Y) = P(Y|X) * P(X) というのはすんなり受け入れられるのですが、密度関数でも同じように…と考えると 頭が混乱してきます。 もしよければ 教えていただきたいです… （わがまま言ってすみません） しかし、わかりやすい回答ありがとうございました。 dedendenさんをはじめ、回答していただいた皆さん、 私のために時間を割いていただいて大変感謝しています。
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
次のように考えられてはいかがでしょうか。 E(Y)＝[0→1]∫dx [x→1]∫dy y/(1-x) ＝3/4
お礼
回答ありがとうございます。 なるほど、そのような式で一発ででますね。 参考になります。
お礼
回答ありがとうございます。 P(Y≦y) = ∫P(x1≦X≦x1+dx1) * P(X≦Y≦y | X=x1) = ∫P(X≦Y≦y | X=X1) dx1 の式 とてもわかりやすいです。 条件付確率はわかるのですが、確率密度関数のとらえ方がどうもうまく捉えられなくて、何度も定義に戻っています(T0T) しかし、rabbit_catさんのおかげで自分の計算が正しいことがわかりました！ ありがとうございます。