統計学の問題です

質問

次の問題について質問です。。。
「ある測定値は平均１０、分散２^2の正規分布に従っている。
３回独立に測定したとき、その平均が９以下になる確率を求めよ。」
です。
この場合、Ｐ（（X1+X2+X3）/3≦9）＝Ｐ（X1+X2+X3≦27）
としてみたのですが、標準化を使ってどう求めればよいのか
さっぱりで。。。
どなたか解説をお願いします。

回答No.3

at9_am · ベストアンサー

証明はしませんが、独立な正規分布の和は正規分布します。
さらに平均値と分散は、
Z/3 = (X1 + X2 + X3)/3
は
E[Z]/3 = E[X1] + E[X2] + E[X3] = μ
var[Z/3] = (var[X1] + var[X2] + var[X3])/9 = σ^2/3
から
Z/3 ～ N(μ, σ^2/3) = N(10, 2^2/3)
です。

以上から標準化して
P(Z/3≦9) = P( (Z/3-10)/(2/√3) ≦ (9-10)/(2/√3) )
= P((Z-30)/2√3 ≦ -√3/2)
となります。当然ながら(Z-30)/2√3は標準正規分布に従いますので、確率を求めることが出来ます。

お礼

すごく分かりやすかったです。
「E[Z]/3 = E[X1] + E[X2] + E[X3] = μ
var[Z/3] = (var[X1] + var[X2] + var[X3])/9 = σ^2/3」
の部分をしっかり押えておこうと思います。
本当にありがとうございました。

回答No.4

plexus

「3回やった平均」という事象をＱとすると、

Ｑの平均は、　１０　　ですよね。
分散は、　　　２＾２/3　ですよね。

その理由は本に譲るとします。

感覚的にはわかりますよね？平均は変わるわけないし、
サンプルを３つに増やしたんだからその分だけ散らばり具合は減りますからね。

ということであとはいつものとおり
Ｑ　～　Ｎ（１０、２＾２/3）
から、

（Ｑ－１０）/(2√３）　～　Ｎ（０，１）

で、あとは表で調べてください。

値は（９－１０）/(2√３）より小さい部分の面積ですね。

お礼

「感覚的にはわかりますよね？平均は変わるわけないし、
サンプルを３つに増やしたんだからその分だけ散らばり具合は減りますからね。」
基本なのですが、この考え方を覚えておこうと思います。
plexus様、解説ありがとうございました。

回答No.2

genius1982

もうしわけないです。
個々の分布の平均値を3と勘違いしていました。
和の平均は9ではなくて30ですね。

回答No.1

genius1982

正規分布のモーメント母関数は
exp(μt + (σ^2 * t^2)/2)
です。従って3つの和の分布の母関数は3乗すればよく
exp(3μt　+ 3(σ^2 * t^2)/2)となります。
これは期待値が3μ,分散が3σ^2の正規分布に他なりません。
以上のことから、問題の正規分布の和の分布は平均が9,分散が3×2^2の正規分布に従います。

平均が9以下となる、ということはご自身で書かれているように合計が27以下となる確率です。

あとは標準化して、1変数の場合と同様に確率を求めてください。

お礼

exp(μt + (σ^2 * t^2)/2)
です。従って3つの和の分布の母関数は3乗すればよく
exp(3μt　+ 3(σ^2 * t^2)/2)となります。
・・・の部分の解説が特に役立ちました！
ご丁寧な解説ありがとうございました。