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確率・統計の問題についての質問です。

問題:「確率変数Xは、平均50、分散9の正規分布に 従うとする。次の条件を満たすCを求めよ。」 ・P(50-C<X<50+C)=99.7% 手持ちの回答では、「Xを標準化した確率変数をZとすると、 Zは標準正規分布に従う、そして今、標準正規分布において 確率が99.7%になるのはZが+-3σの範囲である。 よって、C/σ=3からC=9となる」(σ:標準偏差) ここで私が疑問に持ったのはなぜ?Zの範囲+-3にσを かけるのでしょうか?いま分散が9ということはσは3ですよね? しかし、3のままで式を変形していくと、C=9にはならない と思います。なぜσをつけるのでしょうか? そこのところがわかりません。 どなたか教えてください。 よろしくお願いします<(_ _)>。

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  • 回答No.3

 仰るとおり、「手持ちの回答」がおかしいですね。ちょっとゆっくりやってみましょ。 > 標準正規分布において確率が99.7%になるのはZが+-3σの範囲である  その「手持ちの回答」を書いた人の筆が滑ったんでしょう。標準正規分布ってのは、平均が0、標準偏差が1。その標準正規分布に従う確率変数Zの話をしているんだから、ここに書いてあるσは標準正規分布の標準偏差、すなわち1である。「Zが+-3の範囲である」と書くべきところです。 > よって、C/σ=3からC=9となる」(σ:標準偏差)  この行に書いてあるσは確率変数Xの標準偏差である。上で引用した部分に書いてあるσとは全くの別ものです。  同じ記号で別のものを指すようなことは、もちろんやってはいけない。これが「手持ちの回答」の誤りです。  さて、ご質問の通りσ=3であり、従って回答にある通り C/σ=3 から C=9 となりますが、ここはえらく飛ばしすぎではないか。 カンペキ解答はこうなるかな: 確率変数Xが従う正規分布は標準偏差σ=3、平均m=50である。 Xを標準化した確率変数をZとすると、 Z = (X-m)/σ である。そこでXをZで表すと、 X = σZ+m である。 50-C<X<50+C のとき、Zは 50-C<σZ+m<50+C を満たす。ここにm=50を代入すると -C/σ<Z<C/σ である。従って、 P(50-C<X<50+C)=P(-C/σ<Z<C/σ) である。  一方、 P(-h<Z<h)=99.7% となる範囲(-h, h)は、標準正規分布表よりh≒3である。 従って、 C/σ = h ゆえに C=σh 代入すると C ≒ 9  この計算は、慣れればこんなにごちゃごちゃ考えない。パターンを憶えて一瞬でやってしまうようになります。なので、慣れた人には「手持ちの回答」のような表現の方が(いやもちろん間違いの部分は修正して、ですが)確かに自然に感じられる。  しかしながら、これはまだ慣れてない人のための練習問題なのだ、ということを考慮すると、「手持ちの回答」は飛ばしすぎだと思います。いやもしかすると、パターンなんだから憶えろ、という積もりで「手持ちの回答」が書かれたのかも。

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質問者からのお礼

ありがとうございます!! こんなに丁寧に回答してくださって、すごく 感激しています。 どうかstomachmanさんに幸あれ・・・(*^_^*)

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  • 回答No.2
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Z=(X-μ)/σ μ=50,σ=√9=3 Z=(X-50)/3 … (1) 99.7%の範囲は -3≦Z≦3 (1)を代入 -3≦(X-50)/3≦3 これから 50-9≦X≦50+9 >P(50-C<X<50+C)=99.7% から C=9 となります。 >なぜσをつけるのでしょうか? >確率が99.7%になるのはZが+-3σの範囲である。 この表現は一般の正規分布に当てはまることです。 Zについていえば σ=1ですから-3≦Z≦3 ですね。 >よって、C/σ=3からC=9となる」(σ:標準偏差) このCはXに対する範囲のCで99.7%が含まれるXの範囲はXの正規分布の ±3σの範囲ですね。つまりXに対する3σは 3σ=Cということです。 つまり C/σ=3 が成り立ちます。 この場合のσは σ=√(9)=3 です。C=3σ=9が成り立っているということです。 標準正規分布の標準偏差σ(=1)と確率変数Xの標準偏差σ(=3)と区別して考えれば混乱しないでしょう。

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  • 回答No.1

混乱されているのは標準正規分布Zと現実の正規分布Xの関係でしょうか。 標準正規分布はPとσの関係を表すために使っています。 ZでPが99.7%になるのが±3σ=±3×1=±3ですから Xでも同様に±3σが成立します。つまり±3σ=±3×3=±9。

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