不定方程式（数と式）の問題、解答の意味がわかりません！！

質問

不定方程式（数と式）の問題、解答の意味がわかりません！！
教えていただけませんか？

問題
３Ｘ－７Ｙ＝１を満たす自然数の組（Ｘ、Ｙ）のうち、Ｘの値が１０番目に小さいものを求めよ。

解答
３Ｘ－７Ｙ＝１　　(1)
となる特殊解を探すと　（Ｘ、Ｙ）＝（－２　－１）
がある。
３・（－２）－７（－１）＝１　　(2)

(1)－(2)より
３（Ｘ＋２）－７（Ｙ＋１）＝０
すると、３と７は互いに素なので、ｋを任意の整数として、
Ｘ＋２＝７ｋ　　　　　←ココが解りません！！
Ｙ＋１＝３ｋ　　　　　　

ゆえに
Ｘ＝７ｋ－２　　　　(3)
Ｙ＝３ｋ－１　　　　
(3)が(1)の特殊解である。Ｘはｋの1次式で、ｋ＝１から正で単調に増加する。よってｋ＝１０　　Ｘ＝６８
質問
３（Ｘ＋２）－７（Ｙ＋１）＝０をなぜ
Ｘ＋２＝７ｋ　　　　　
Ｙ＋１＝３ｋ
のように置けるのかが解りません。
Ｘ＋２＝７（Ｙ＋２）／３　　　　
Ｙ＋１＝３（Ｘ＋２）／７
になるはずですよね？？なのに
７（Ｙ＋２）／３＝３（Ｘ＋２）／７＝ｋにしてしまってるのが解りません。
解る方、理由を教えていただけませんか？？

回答No.1

-ROM · ベストアンサー

3(x + 2) - 7(y + 1) = 0
⇔ 3(x + 2) = 7(y + 1)

これは、3 が 7(y + 1) の因数であり、かつ 7 が 3(x + 2) の因数でなければならないことを表す。
しかるに、3 と 7 は互いに素であるから、3 は y + 1 の因数であり、かつ 7 は x + 2 の因数である。

お礼

なるほどなるほど、
3(x + 2) = 7(y + 1)
より
(X+2)=7B Aは整数
(y+1)=3A　Bは整数
3*7B=7*3A　だからB=Aは明らかでそれをKと置けるってことか！？
わかりました！！ありがとうございました！！

回答No.3

ccyuki

３（Ｘ＋２）－７（Ｙ＋１）＝０ から
　　　３（Ｘ＋２）＝７（Ｙ＋１）　です。
この式からわかることを考えます。
　A=x+2　　B=Y+1　とします。
　　３A＝７B　　　で　A,B　は共に整数ですから
　Aは　７の倍数ですよね
　　　７の倍数なので　　A=７k　　（ｋは整数）　とおけます。
　同じように　Bは３の倍数ですから　B=３k　とおけます。

つまり　Ｘ＋２＝７ｋ，Ｙ＋１＝３ｋ　　です。

お礼

なるほど！！
よくわかりました！！
丁寧な説明本当にありがとうございました！！

回答No.2

take_5

3x-7y＝1　‥‥(1)
(1)を満たすxとyの特別解を各々α、βとすると　3α-7β＝1　‥‥(2).
(1)-(2)より、3(x-α)＝7(y-β)。3と7は互いに素であるから、mを整数として、x-α＝7m、y-β＝3mと表される。
(2)を満たすαとβの具体値を求めると、(α、β)＝(-2、-1)。
従って、x＝7m-2、y＝3m-1。
xとyが自然数であるから、7m-2≧1、3m-1≧1、従ってm≧1.
xが10番目の数であるからm＝10とすれば、x＝7m-2＝70-2＝68。

お礼

＞（1)を満たすxとyの特別解を各々α、βとすると　3α-7β＝1　‥‥
＞(2).(1)-(2)より、3(x-α)＝7(y-β)
いきなり特別解を求めて引くよりも　まず、（α、β）と置くと考えやすいし理解しやすいですね！！
ありがとうございます！！