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一次不定方程式の解について質問
問：次の方程式の整数解をすべて求めよ。 ２ｘ－５ｙ＝１ 答：ｘ＝5ｋ+3,ｙ＝2ｋ+1 （ｋは整数とする） ｘ＝5ｋ+3,ｙ＝2ｋ+1になるのは理解できたのですが ｘ＝5ｋ-2,ｙ＝2ｋ-1は間違いなのですか？ （ｘ＝-2,ｙ＝-1を整数解の一つであると考えた場合） 教えて下さい お願いします
- with96neko
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> 答：ｘ＝5ｋ+3,ｙ＝2ｋ+1 （ｋは整数とする） と書く代わりに 答1：ｘ＝ 5j+3,ｙ＝ 2j+1 （jは整数とする） でも同じですよね。 一方、 答2：ｘ＝ 5ｋ-2,ｙ＝ 2ｋ-1 (kは整数とする） と書くのと 答2'：ｘ＝ 5ｋ-2,ｙ＝ 2ｋ-1 (k-1は整数とする） と書くのも同じであり、 j = k-1 と書く事にして答2'のkを消去すれば 答2''：ｘ＝ 5(j+1)-2,ｙ＝ 2(j+1)-1 (jは整数とする） すなわち 答2'''：ｘ＝ 5j+3,ｙ＝ 2j+1 (jは整数とする） これは答1と全く同じ。 ってことは、答2は最初の答と同じ。
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- tsuyoshi2004
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ｘ＝5ｋ+3,ｙ＝2ｋ+1 （ｋは整数とする）にk=j-1を代入すれば、 x=5(j-1)+3=5j-2 y=2(j-1)+1=2j-1 です。 jが整数ならば、j-1=kも整数なので ｘ＝5ｋ-2,ｙ＝2ｋ-1（ｋは整数とする）も正解です。 余談ですが、この問題では全ての整数解を求めていますが、 もしもx>0の整数解などとなっていれば、当然 ｘ＝5ｋ+3,ｙ＝2ｋ+1 と ｘ＝5ｋ-2,ｙ＝2ｋ-1 では、kの範囲が変ってきますので、注意が必要です。
- 178-tall
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#1 さんのコメントに尽きるが…。 >ｘ＝5ｋ-2,ｙ＝2ｋ-1は間違いなのですか？ ↓ >２ｘ－５ｙ＝１ へ代入してみると OK みたい。 「間違い」ではなかろう。 >（ｘ＝-2,ｙ＝-1を整数解の一つであると考えた場合） ↓ >２ｘ－５ｙ＝１ 「互除法」で、 2(x - 2y) - y = 1 と変形して、一つの特解 x - 2y = 0, y = -1 を得るのがふつうらしい。 つまり、これはこれで OK 。
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