確率密度関数について

質問

以下の問題を考えていたのですが、答えにたどり着けません。
解き方を教えてください。
r.v.Xのp.d.fがp(x)=a(x+1) (-1≦x≦2)
　　　　　　　p(x)=0 (x＜-1or2＜ｘ）であるとき
(1)定数ａの値を求める。
(2)P(0≦x≦3）の値を求める。
(3)Ｘの分布関数F(x)を求める。
というものです。
(1)を求めるために、-1から2の範囲で積分をしたら、3aという
値がでたのですが、そこからaをどのように出せばいいのかで
とまってしまいました。
よろしくお願いします。

回答No.2

kevin23 · ベストアンサー

（１）を求めるために積分をした結果が3aだったのですね。これを3a=1とおけばaが求まります。（３）はp(x)にa=1/3を代入したものを積分すれば求まります。

参考までに言うと確率密度関数というのはある変数ｘについての確率です。例えば、さいころを振って１の目がでる確率は1/6　よってp(1)=1/6
他の目でも1/6です。こう考えていけば、この場合の確率密度関数p(x)はp(x)=1/6　(1≦x≦6)

分布関数はある変数ｘまでの確率を足し合わせたものです。これもさいころを例にすると、
さいころを振って１の目がでる確率は1/6よってF(1)=1/6
さいころを振って１の目もしくは２の目がでる確率は1/6+1/6=1/3　よってF(2)=1/3
さいころを振って１の目、２の目もしくは３の目がでる確率1/6+1/6+1/6=1/2 よってF(3)=1/2

つまり全範囲を足せば確率は１になりますよね？
だからこの場合は3a=1になります。確率密度関数を積分したものが分布関数になります。
（２）のヒントは範囲が(0≦x≦3）であるのでp(x)=a(x+1) (0≦x≦2）,p(x)=0 (0≦x≦2）と場合分けしてみましょう。

＃１の方もおっしゃっていますが実は3aではないですね。もう一度落ち着いて積分してみましょう。

お礼

丁寧な説明ありがとうございました。
密度関数の大きな意味がつかめました。
何とか、計算をして答えを出すこともできました。
何を問われているかなどが、問題を見てもよく理解できて
いなかったことがわかりました。
本当にありがとうございました。

回答No.3

kevin23

#2です。

p(x)=0 (0≦x≦2）ではなくp(x)=0 (2≦x≦3）ですね。

回答No.1

age_momo

全範囲での確率を足したら（積分したら)その合計は1になります。
ところで積分したら3aになります？

お礼

ありがとうございました。
積分を再度計算してみると、a=2/9になりました。