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通分がすばやく出来る方法は？
noname#231526の回答
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既に多数の回答が付いているので今さらですが……。 ◎２の倍数、３の倍数、５の倍数、９の倍数の見分け方は必須です。 ２に倍数は簡単ですね。１の位が偶数。 ３の倍数は、各桁を足して３の倍数。 ５の倍数は、１の位が０か５。 ９の倍数は、各桁を足して９の倍数。 後は、分母か分子が素因数分解できれば手掛かりになります。 その後は、７、１１、１３、１７、１９当たりをチェック。それでもだめなら互除法ということになります。 では、お書きになった例でやってみましょう。 ●3091/9999 分子3091は、２・３・５・９の倍数ではありません。 分母は 9999 ですから、これは９の倍数です。 ９で割ってみると 1111 となります。9999 = 9 × 1111 と分解したことになります。 1111 は、２・３・５・９の倍数ではありませんが、見るからに 11 の倍数です。見て 11 の倍数と分かりますか？？ 1111 = 11 × 101 となります。 結局 9999 = 9 × 11 × 101 となりました。 101 が分解できるかどうかは置いておいて（実は 11×11 = 121 で、これより小さいので、後は7の倍数かをチェックするだけです→おまけ２を参照）、もし約分できるとすれば、分子が 9 か 11 か 101 で割れるはずです。 分子は、９の倍数ではないことは明らかですから、11 を試してみます。これは実際に割ってみます。 3091 ÷ 11 = 281 おお、あまりが出ずに、ぴたりと割れました。3091 = 11 × 281 これで、分子・分母を 11 で割って、3091 / 9999 = 281 / 909 となりました。分子は、９でも101でも割れません。残っていた７で念のため割ってみますが、割れませんのでこれで終りです。（これで終りという確実な確認は互除法が簡単で、909 - 281×3 = 66。281 - 66 × 4 = 17。66 ÷ 17×3 = 15。17 - 15 = 2。15 - 2×7 = 1。つまり互いに素。おまけ１を参照）。 ●19854 / 9900 これは分母はパッと見ただけで、９で割れますね。19854 は 1+9+8+5+4 = 27。2+7 = 9。で９の倍数です。とりあえず、分子・分母を９で割ります。 2206 / 1100 ああ、そうそう、分子・分母とも偶数ですから、２で約分できましたね。 1103 / 550 分子はちょっと何の倍数か分かりません。分母は 55×10 ですから、5×11×2×5 = 2×5×5×11 と素因数分解できます。分子は２の倍数でも５の倍数でもないのは明らかですから、11で割れるか試してみます。割れません。なのでこれでお終い。 ●45/111 4+5 = 9。1+1+1 = 3。ですから分子は９の倍数、分母は３の倍数です。 とりあえず、３で割ってみましょう。 15/37。37は素数ですからこれでお終い。 ◎おまけ１ 最初の例を互除法で約数を見つけてみましょう。 9999÷3091=3 あまり726 3091÷726=4 あまり187 726÷187=3あまり165 187÷165=1 あまり22 165÷22=7 あまり11 22÷11=2 あまり0 …ここであまりが０になりました。ここの割る数11が最大公約数です。 よって分子=3091÷11=281 分母=9999÷11=909。 この方法で、あまりが０になったときの割る数が１ならば、約分できません。 ◎おまけ２ 約数を探すとき、その数のルートを取った数以下の素数だけを探せば十分です。上記では101の素因数を探すとき、10×10=100、11×11=121 だから、11より小さい素数だけを考えればよいのです。2,3,5 は違うのは「一目」で分かりますから 7 で割れないか試してみます。101÷7=14あまり3で割れないので、101は素数ということになります。
- noname#165598
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