極座標表示

質問

∫∫Cb exp{-(x^2+y^2)}dxdy
Cb={(x,y)|x^2+y^2≦b,x≧0,y≧0}

を極座標表示にすると
∫∫Gb exp(-r^2)rdrdθ
Gb={(r,θ)|0≦r≦b,0≦θ≦π/2}

となるのはなぜですか？

回答No.4

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

> 極座標で r が r～r+dr，θがθ～θ+dθ の部分の面積は
> r dr dθ
> がわかりません。扇形の面積とは違いますよね？

No.1 の回答の図の＊の部分ですから，扇形の部分です．

《考え方１》
半径 r と r+dr の部分で中心角が dθ (もちろんラジアン単位)だから，
＊部分の面積 dS は
(1)　　dS = (dθ/2π) {π(r+dr)^2 - πr^2}
　　　　　= r dr dθ + (π/2) dr^2 dθ
ですが，最終辺の第２項は第１項に比べて高次の微小量ですから落とせます．

《考え方２》
dr も dθも微小ですから，＊の部分はほぼ長方形と見なせます．
幅が 2πr×(dθ/2π)， 高さが dr とみて，面積は r dr dθ．
言うまでもないと思いますが，円周 2πr のうちの，円周角dθに対応する部分ですから
2πr×(dθ/2π) ですね．

ちょっと慣れれば，考え方２がおすすめです．

> あと、ｄｘｄｙ＝ｒｄｒｄθ
> を示すのにrdrdθからではなく、dxdyから導こうとするには
> どうすればいいのでしょうか。
> 教えてください。
> dxdy=(dx/dr)(dy/dθ)drdθ
> 　　=cosθ・rcosθdrdθ
> となってしまうのですが・・・・

私が No.3 の回答で指摘しましたように，No.2 の「証明」は全くの間違いです．
偶然結果が合った，あるいは結果が合うように都合よく勝手なことをやった，
に過ぎません．
otoko20001 さんが上で計算されたことは，
No.2のようなやりかたは間違った結果を導くことになるという
私の指摘のまさに絶好の例になっています．
おかしなことになるのは，ちょっと計算の仕方を変えて
dxdy=(dx/dθ)(dy/dr)drdθ
　　=-r sinθ・sinθdrdθ
とすると，また違ったことになってしまうことからもわかります．

今の例で言えば，正しい変数変換はヤコビアンを用いた
dxdy = {∂(x,y)/∂(r,θ)} drdθ
です．
∂(x,y)/∂(r,θ) がヤコビアンで，定義は
∂(x,y)/∂(r,θ) = (∂x/∂r)(∂y/∂θ) - (∂x/∂θ)(∂y/∂r)
です．
∂x/∂r = cosθ
∂y/∂θ= r cosθ
∂x/∂θ= -r sinθ
∂y/∂r = r sinθ
から
∂(x,y)/∂(r,θ) = r
つまり
dxdy= r dr dθ
になります．

ヤコビアン関係につきましては，
理工系大学１年次程度の解析学のテキストにたいてい載っています．

お礼

早い回答ありがとうございます。

ヤコビアン・・・・
確かにそんなものがありました(>_<)
すでに頭の中から・・・

とにかくありがとうございました。

回答No.3

siegmund

No.1 の回答をした siegmund です．
shadoworks さんの回答を拝見しました．

> 問題文の直交座標のｂは多分ｂ＾２でしょう
は言われるとおりですね．

式の証明ですが，今の話は２変数の問題ですから，
積分変数変換はヤコビアン(関数行列式)を用いて行わないといけません．
shadoworks さんのようなやり方は一般的に間違った結果をもたらします．
そもそも，途中の計算が，dr/dx を偏微分 ∂r/∂x に勝手に(？)変えたり，
偏微分の計算の際に固定するべき変数を勝手に変えたり，などになっています．

もとの質問の本旨とはずれますので詳細は控えますが，
２変数以上の積分変数変換は大学１年程度の解析学方面のテキストには
たいてい載っています．

回答No.2

shadoworks

―平面における直交座標から極座標への変換―
　極座標は原点からの距離ｒと方位角θの組み合
わせなので、直交座標を（ｘ，ｙ）とおくと…
　　ｒ＝（ｘ＾２＋ｙ＾２）＾（１／２）
　　θ＝ａｒｃｔａｎ（ｙ／ｘ）
《∵ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ》
　問題文の直交座標のｂは多分ｂ＾２でしょう、
そう置くと、積分を行う範囲は…
『中心が原点で半径ｂの円の内部で第一象限内』
　あとは積分における変換です。
　　ｄｘｄｙ＝ｒｄｒｄθ
を示せばいいことになりました。

　　ｒｄｒｄθ＝ｄθｄｘ・ｒ・ｄｒ／ｄｘ
　　＝ｄθｄｘ・ｒ・ｘ／ｒ＝ｄθｄｘ・ｘ
《∵ｒ＝（ｘ＾２＋ｙ＾２）＾（１／２）を
　ｘで微分する（ｘとｙは独立）と、
　１／２・（ｘ＾２＋ｙ＾２）＾（－１／２）
　・２ｘ←カッコ内をｘで微分した＝ｘ／ｒ》
　　＝ｄｘｄｙ・ｘ・ｄθ／ｄｙ《逆数で計算》
　　＝ｄｘｄｙ・ｘ・（１／ｘ）＝ｄｘｄｙ
《∵ｄｙ／ｄθ＝ｄ（ｒ・ｓｉｎθ）／ｄθ
　＝ｒ・ｃｏｓθ（∵θとｒは独立）＝ｘ》
　―これで式の上では証明されました―　（終）

お礼

回答ありがとうございます。
＞問題文の直交座標のｂは多分ｂ＾２でしょう

Cbの範囲がまちがってました。
正しくは
Cb={(x,y)|x^2+y^2≦b^2,x≧0,y≧0}
でした。
Cbは積分範囲を示しています。

おそらくこのことだろうと思っていますが
違いますか？

あと、ｄｘｄｙ＝ｒｄｒｄθ
を示すのにrdrdθからではなく、dxdyから導こうとするには
どうすればいいのでしょうか。
教えてください。
dxdy=(dx/dr)(dy/dθ)drdθ
　　=cosθ・rcosθdrdθ
となってしまうのですが・・・・

回答No.1

siegmund

x^2 + y^2 = r^2
ですから，exp の中身は問題ないですね．
x = r cosθ
y = r sinθ
ですから，領域の対応も大丈夫ですね．

あとは面積要素です．
直角座標で，dx dy となっている意味は
x 座標が x～x+dx，y 座標が y～y+dy の部分の面積が dx dy ということです．

同じように，極座標で r が r～r+dr，θがθ～θ+dθ の部分の面積は
r dr dθです．

　＼────────／
　　＼＊＊＊＊＊＊／　dr
　　　＼────／　　　
　　　　＼ｄθ／
　　　　　＼／

図がうまく描けませんが(弧にならず，元になってしまっている)，
上の図の＊の部分が r dr dθです．
もちろん，dr，dθ→0 での主要項だけとっています．

質問の場合は，被積分関数がθに依存せず，かつ r の積分範囲がθに無関係ですから
θについて先に積分して因子 π/2 が出て
(π/2)∫{0～b} exp(-r^2)rdr とでき，あとは簡単な計算で
(π/4){1 - exp(-b^2)} になりますね．

お礼

回答ありがとうございます。
ですが、僕が馬鹿なもんで・・・・
どうしても
極座標で r が r～r+dr，θがθ～θ+dθ の部分の面積は
r dr dθ

がわかりません。扇形の面積とは違いますよね？
できれば教えていただきたいのですが。