Βスプライン曲線とベジェ曲線について

質問

パソコンの本を読んでいてtruetypeフォントは２次のΒスプライン曲線を使っていますと紹介されて以下の２式で描けますとだけしか書かれていなかったのでよくわかりませんでした。
Βスプライン曲線の
x=(1-t)^2x1+2(1-t)tx2+t^2x3
y=(1-t)^2y1+2(1-t)ty2+t^2y3
0≦ｔ≦1
という式はどのように導き出すのでしょうか？
また
ベジェ曲線についてもどのように導き出すのでしょうか?

回答No.1

hiiniichan

合ってるかどうかは？ですが…

【Bスプライン】
始点：P1(X1,Y1)　終点：P3(X3,Y3)　制御点：P2(X2,Y2)

二次曲線を媒介変数(t)を用いて次のように表すことにする
X=F(t)=Ax・t^2 + Bx・t + Cx
Y=G(t)=Ay・t^2 + By・t + Cy
(0≦t≦1)

t=0のとき(F(t), G(t)) = P1(X1, Y1) となるためには
Cx = X1　　Cy = Y1

t=1のとき(F(t), G(t)) = P3(X3, Y3) となるためには
Ax + Bx + X1 = X3　→ Ax + Bx = X3 - X1
Ay + By + Y1 = Y3　→ Ay + By = Y3 - Y1

t=0のとき曲線が線分P1-P2とP1において接するためには
F'(t)=2・Ax・t + Bx　　G'(t)=2・Ay・t + By
F'(0) : G'(0) = Bx : By = X2 - X1 : Y2 - Y1
となっていなければならない。
係数nを導入して次のように置くことにする
F'(0) = Bx = n・(X2 - X1)
G'(0) = By = n・(Y2 - Y1)

またt=1のとき曲線が線分P2-P3とP3において接するためには
F'(1) : G'(1) = 2・Ax + Bx : 2・Ay + By = X3 - X2 : Y3 - Y2
となっていなければならない。
係数kを導入して次のように置くことにする
F'(1) = 2・Ax + Bx = k・(X3 - X2)
G'(1) = 2・Ay + By = k・(Y3 - Y2)

これを解いていくと
Ax = {k・(X3 - X2) - n・(X2 - X1)}/2
Bx = n・(X2 - X1)
Cx = X1
(以下Ay,By,Cyについては同型なので省略する)

これを元の式　F(t)=Ax・t^2 + Bx・t + Cx に代入し X1, X2, X3
についてまとめると、
F(t)={k・(X3 - X2) - n・(X2 - X1)}/2・t^2 + n・(X2 - X1)・t + X1
　=(n/2・t^2 - n・t + 1)・X1 - {(k+n)/2・t^2 - n・t}・X2 + k/2・X3・t^2

P1とP3が逆になったときでもこの曲線が同じ軌跡を描くためには。
H(t)=(n/2・t^2 - n・t + 1)・X3 - {(k+n)/2・t^2 - n・t}・X2 + k/2・X1・t^2
において
H(1) = (n/2 - n + 1)・X3 - {(k+n)/2 - n}・X2 + k/2・X1
　= (1 - n/2)・X3 - {(k-n)/2}・X2 + k/2・X1 = F(0) = X1
が常に成り立たねばならないことから
n=k=2

F(t)={k・(X3 - X2) - n・(X2 - X1)}/2・t^2 + n・(X2 - X1)・t + X1
　=(t^2 - 2・t + 1)・X1 - {2・t^2 - 2・t}・X2 + X3・t^2
　=(t-1)^2・X1 + 2・(1-t)・t・X2 + X3・t^2
同様に
G(t)=(t-1)^2・Y1 + 2・(1-t)・t・Y2 + Y3・t^2

ふぅ…疲れた...(o_ _)oバタッ

お礼

回答ありがとうございます。
長文で書いていただき、大変恐縮しています。