バラツキを考慮して平均を補正したい

質問

会社でちょっとした統計処理をしていて、
バラツキを考慮して平均を補正するという作業をしたいのでが、、、
なかなかうまくいきませなん。

例1) a1=2, a2=2, a3=2
例2) b1=-1, b2=0, b3=7

例1)a1～a3の平均と、例2)b1～b3の平均はどちらも"2"です。
しかし、例2)はb3だけが突出していて印象的には"2"よりも若干低めの、0～1ぐらいに補正したいのです。
しかし、補正をするための数学的根拠が見つけられないのです（そもそも無いのか？）。

私のつたない知識ですと、バラツキを現す手法としては標準偏差が思い当たりますが、
例1)の標準偏差=0
例2)の標準偏差=3.56
なので、これを利用して何とかならないか、、、などなど考えています。
平均値をバラツキを考慮して補正する、数学的根拠のある方法は存在するのでしょうか。

回答No.4

life55 · ベストアンサー

#3です．

まず．「補正」という考え方は捨てた方がいいと思います．
この種のデータの扱いにはいろいろあります．

１．例２の「７」を捨てる
　質問にも書かれているように，データの出所から考えて「７」はおかしいのだというのであれば，これを捨てます．残ったデータは，「－１と０」ですから，平均をとれば「-０．５」になりますね．
この場合は，「７」を捨てる理由が必要です．
１）異常値として扱う
測定ミス，記入ミスなどは，「異常値」と呼びます．
本来は，原因を追究して値を書き直さなければなりません．例えば，７ではなく，０．７だったとかいうことです．
異常値の場合には，３個のデータのうちの最大値だけを捨ててしまうのは，誤ったやり方です．
２）外れ値として扱う
これは，異なる母集団が混ざってしまった場合です．
例えば，「１と０は２０代の人の答え」「７は５０代の人の答え」であって，明らかに集団が違う場合には，２個のデータと１個のデータに分けてしまって構いません．
ですから，－１と０の平均をとって，答え「－０．５」として構いません．

２．本当に補正（というかどうか？）できないのか？
実はできないことはありません．
ただし，事前に分布が分かっていることが必要です．
世の中には「二段階推定法」などというのもありますが，「確率紙」を使ってみるのも手でしょう（どちらも分布の仮定が必要です）．
いま，データが３個ありますから，それぞれのデータが全体の何パーセントの位置なのかを計算します．
－１は３個の中の１番目ですから，１/（３＋１）＝０．２５，
０は３個の中の２番目ですから，２/（３＋１）＝０．５
７は使いません．
この２点を確率紙に打点し，確率紙に書いてある通りに線を引くと平均などが求まります．

３．その他の注意
３個のデータで平均をとってもあまり意味ありませんね．
１０個あるのなら，最小値，最大値を捨てて，８個で計算してもいいのではないかと思います．

お礼

再びありがとうございます。
そうですね、異常値があるという前提では補正は意味がないと思います。しかし、（大事な前提を書き忘れたのですが）今回の事例は基本的に異常値がありません。ですから、例2の7という数値を除外してしまうことに、少し違和感を覚えてしまうのです。
かといって単純平均ですと、7の影響が強すぎると思い、悩んでいるわけです。

life55さんの
２．本当に補正（というかどうか？）できないのか？
からヒントを得て以下の方法を考えました（今回のデータは正規分布していると考えて問題ありません）。

例2の場合、
b1=-1, b2=0, b3=7
の正規分布確率密度関数f(x)を求める。

f(b1)=0.072222754
f(b2)=0.082379292
f(b3)=0.047403806

となります。
これを加重平均したものが求める補正平均値。即ち、

b1*f(b1)/(f(b1)+f(b2)+f(b3))
+b2*f(b2)/(f(b1)+f(b2)+f(b3))
+b3*f(b3)/(f(b1)+f(b2)+f(b3))
=0.428376842

となりました。
このようなやり方は、ヘンでしょうか？