引力の問題

質問

問題
(A)太陽の引力を受けて運動する彗星の運動方程式を記せ。なお、太陽は原点に静止しているものとし、また彗星の運動は(x,y)平面に限られるものとする。必要な記号があれば設定すること。

(B)太陽から彗星までの距離をr(=r(t))とする。ある彗星について詳しく観測した結果、rの最小値(最も太陽に近づいたときの距離)は地球の軌道半径のちょうど半分で、rの最大値(最も太陽から遠ざかったときの距離)は地球の軌道半径の25倍であることが分かった。この彗星が最も太陽に近づいたときの速度の大きさをV0とすると、最も太陽から遠ざかったときの速度の大きさはどれだけか？

(C)この彗星が地球の軌道を横切る時刻をt=t1とする。この時刻における彗星の速度の大きさは1/2V0を上回るか、それとも下回るか？

これらの問題がむずかしくて分からないです。

考えたことは
(B)はz軸に関する角運動量保存則を用いる
(C)は角運動量の式で、速度をr方向の成分とθ方向の成分に分ける

回答No.3

noname#175206 · ベストアンサー

No.2です。補足了解しました。

No.2です。なるほど。

太陽が動かないとして、太陽を原点とする平面極座標をとるとします。太陽を原点とする直交座標系との関係は、太陽からの距離をr、成す角度をθとして、
　x = rcosθ, y = rsinθ ---(1)
(1)を微分して、x方向の速度をvx、ｙ方向のをvyとして、
　dx/dt = vx = r'cosθ - θ'sinθ ---(2)
　dy/dt = vy = rsinθ + θ'rcosθ ---(3)
さらに加速度は、
　dvx/dt = r'' - 2r'θ'sinθ - rθ''sinθ - rθ''sinθ } ---(4)
　dvy/dx = r''sinθ + 2r'θ'cosθ -rθ''sinθ + rθ''cosθ
一方、動系方向に働く中心力をf(r)として、彗星の質量をmとして、
　mdvx/dt = f(r)cosθ, mdvy/dt = f(r)sinθ ---(5)
(4),(5)より、
　m(dvx/dt*cosθ + dvx/dt*sinθ) = f(r) } ---(6)
　m(dvx/dt*sinθ - dvx/dt*cosθ) = 0
(4)により書き直すと、
　m(r'' -rθ'') = f(r) ---(7)　（動径方向の運動方程式）
　m(2r'θ + rθ'') = 0 ---(8)　（方位角方向の運動方程式）
(8)をmで割ってrを掛ければ、
　d/dt(r^2θ') = 0 ---(9)
(9)を時間について積分すれば、
　r^2θ' = h（一定）---(10)
太陽の質量をMとして、その大きさは、
　f(r) = -GMm/r^2 ---(11)
彗星の運動方程式は、(7)、(10)より、
　r'' - rθ^2 =GM/r^2 ---(11)
　r^2θ' = h ---(12)　（面積速度一定）

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

noname#175206

(A)の運動方程式はできましたか？これが出発点だから気になりまして。

補足

彗星の極座標位置=(r,θ)は時間tの関数

m・{r"-rθ'^2} = - ( ) --- (1) r方向の運動方程式
{r・mrθ'}' = 0　　　　　　　--- (2)　θ方向の運動方程式

となったんですが・・・・自信がないので

回答No.1

rabbit_cat

ケプラーの法則（第２法則）そのものって感じですが．
おっしゃるとおり角運動量の保存則を用いればよいです．