万有引力による運動で加速して引力圏を脱した先は？

質問

万有引力による楕円運動に関する質問です。
地球のまわりを回っている人工衛星を考えます。近日点距離 r,速度 vで、遠日点距離 R,速度 Vを求めます。
角運動量保存から　vr=VR
エネルギー保存から　1/2mv^2-GmM/r=1/2mV^2-GmM/R

これを解いて
V=(2GM-rv^2)/rv
R=(rv)^2/(2GM-rv^2)

(ちょっと見にくいですが）

ここで近日点で瞬間的に加速することを考えます。つまり r 一定でvを大きくしていくわけです。
ｖが（2GM/r)^1/2に近づくとR→∞になります。だんだん地球の引力圏を脱するということだと思います。ここまではよいのですが、vをさらに大きくするとRは負になります。Ｖも負になります。
負の距離、負の速度がなにを意味するのかがわからないのです。加速していくというのは普通にできるのではないかと思うのです。無限遠の向こうには負の世界が広がっているのでしょうか。

実際に人工衛星を加速するとどういうことが起こるのか、数式の意味することはどういうことなのか、
わかりやすくご教授ください。

よろしくお願いします。

回答No.5

LinguaFranca · ベストアンサー

No.2 です。少し補足します。

＞とにかく引力圏を脱する、無限遠で運動しつづける、ということでよいのでしょうか？
あっています。

＞また引力圏に帰ってこないのだから楕円運動ではないという理解であってますか。
これには少し説明が必要かもしれません。

少し説明します。

エネルギーをＥとして、

E=1/2 mv^2-GMm/r

とします。質問者さんがやっていたエネルギー保存則はこのＥが一定であるということでした。
そして、このE=0を解けば、ｖ=（2GM/r)^1/2 という脱出速度というのがでてくるのです。

そして、Ｅ＜0の範囲では楕円運動をするのです。
もっと言えば、無限遠まで到達するだけのエネルギーを持ってないという状態です。

そして、Ｅ≧0では無限遠にまで到達するだけのエネルギーを持っているということですから、楕円運動はしないといっていいでしょう。つまり、
＞また引力圏に帰ってこないのだから楕円運動ではないという理解であってますか。
というのは、そういう意味であっています。

また、どういう軌道を描くかは、数学的な計算をすればすぐ分かりますが、
Ｅ＜0　で楕円軌道
Ｅ＝0　で放物線軌道
Ｅ＞0　で双曲線起動
となります。

この計算は、もし数学3Ｃをとっていれば、できます。
２次曲線のところの離心率と関係してきます。

お礼

だいたい納得いきました。
ありがとうございました。

回答No.4

tadys

無限大の向こうに負の世界がある（ように見える）事は、物理の世界ではよくある事です。

一つの例は、レーザー発振などで発生する電子のエネルギー分布の反転状態です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E8%BB%A2%E5%88%86%E5%B8%83

別の例は、電子回路における負のインピーダンスです。
アクティブ素子を含まない回路はL（インダクタ）、C（キャパシタ）、R（抵抗）からなります。
これらLCRからなる回路のインピーダンスは複素数で表されます。
このインピーダンスを複素平面にプロットすると複素平面の右側（複素数の実数部が正）にプロットされます。
この複素平面を次のように変換すると複素平面の右側を半径１の円の内部に閉じ込める事が有ります。
変換すべき平面をZで表します。
有る値Z0（R0+j0）を定めます。 ｛電気回路なので虚数単位にiでは無くjを使っています｝
変換後の平面をSで表します。
SとZの関係式を S=(Z-Z0)/(Z+Z0) とします。
この変換により、
Z平面の 0+j0 はS平面の -1+j0 へ
Z平面の R0+j0 はS平面の 0+j0 へ
Z平面の ∞+j0 はS平面の 1+j0 へ
Z平面の 0+jｘ はS平面の 半径１の円周上へ
変換されます。
この座標変換による図表はスミスチャートと呼ばれ、電子工学では良く使われています。

Z平面上で、r+j0のｒをゼロから∞に向けて増加させるとS平面では-1+j0 → 1+j0と変化します。
Z平面上では無限大を超える事が出来ませんが、S平面上では1+j0を超えて変化する事が出来ます。
S平面で半径１の円周の外側の部分はZ平面では左半分（抵抗の値が負）に対応します。
アクティブ素子を加えた電子回路では負の抵抗を含む回路は珍しくありません。

このように適当な座標変換を行う事で無限を超えた部分を有限の範囲に表す事が出来ます。
Z平面とS平面でどちらかが正しくてどちらかが間違えているという事は有りません。
それらは単に見方の違いでしかないのです。

同じような例として、相対性理論のクルスカル座標が有ります。
http://wkp.fresheye.com/wikipedia/%E3%82%AF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%82%BC%E3%83%83%E3%82%B1%E3%83%AB%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB

お礼

回答ありがとうございます。
当方、物理、数学とも高校程度の理解しかないので、難解すぎました。
ただ、「無限大の向こうに負の世界がある（ように見える）事は、物理の世界ではよくある事です。
」というのは参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.3

f272

楕円軌道をとらずに，放物線あるいは双曲線軌道を取るようになるということでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
当方、物理、数学とも高校程度の理解しかないので、難解すぎました。
ただ、「無限大の向こうに負の世界がある（ように見える）事は、物理の世界ではよくある事です。
」というのは参考になりました。
ありがとうございました。

補足

すいません。
お礼をおくるかたを間違えました。
回答ありがとうございました。

回答No.2

LinguaFranca

途中までの議論は合っています。

脱出速度をだして、それを超えると、地球の引力圏を脱するということもあっています。

しかし、地球の引力圏を脱してしまえば、
最初の２式は成り立たなくなってしまいます。
つまり、「万有引力による楕円運動」という運動ではなくなってしまうのです。

つまり、負の距離、負の速度という議論が無意味になってしまうのです。
（個人的にはおもしろいと思いますが＾＾）

詳しいアニメーションはこちらで確認してください。
http://www.ne.jp/asahi/tokyo/nkgw/gakusyu/rikigaku/docking/docking.html

補足

回答ありがとうございます。
楕円運動をしなくなるということですが、v>（2GM/r)^1/2では軌道は別にして、とにかく引力圏を脱する、無限遠で運動しつづける、ということでよいのでしょうか？
また引力圏に帰ってこないのだから楕円運動ではないという理解であってますか。

よろしければ補足お願いします。

回答No.1

Tacosan

単に「『楕円軌道』という設定が成り立たない」というだけ.

お礼

回答ありがとうございました。